来自人教群的 $x^2+y^2+z^2+xyz=4$ 求 $x+y+z$ 最大值

kuing

【渣^5】鄂J爱好者v6mm131(4744*****)  19:07:07

【渣^5】阅A爱好者渣k(249533164)  19:25:39
cos啊
【渣^5】川A爱好者zhcosin(5323*****)  19:38:12
啥
【渣^5】阅A爱好者渣k(249533164)  19:39:38
不是叫你，我是说那题余弦换元……
【渣^4】鄂F爱好者牵手观音(7048*****)  20:01:52
2x=cos^2A，等
【渣^5】川A爱好者zhcosin(5323*****)  20:02:17

【渣^4】鄂F爱好者牵手观音(7048*****)  20:03:05
三郭等式，cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1

嘛，三角太常规，没事写个代数不等式的：
下面证明对于 $x$, $y$, $z\in[-2,2]$, $x^2+y^2+z^2+xyz=4$ 都有 $x+y+z\leqslant3$。

由条件及均值有
\[x^2+(y+z)^2-4=(2-x)yz\leqslant \frac14(2-x)(y+z)^2,\]
整理为
\[\frac14(2+x)(y+z)^2\leqslant 4-x^2=(2+x)(2-x),\]
故
\[y+z\leqslant 2\sqrt{2-x},\]
再由均值
\[x+y+z\leqslant x+2\sqrt{2-x}\leqslant x+1+2-x=3,\]
当 $x=y=z=1$ 时取等。

游客

先固定一个变量的值也可以。

isee

原来也是名题，真的是只有自己思考后，才知道其中的滋味~

源自知乎提问


若正实数 x，y，z 满足 $x^2+y^2+z^2+xyz=4$ ，求 $x+y+z$ 的最大值.

次数不高，尝试构造拉格朗日函数 \[f(x,y,z,\lambda)=x+y+z-\lambda(x^2+y^2+z^2+xyz-4),\] 得到偏导方程组 \[\left\{\begin{aligned}f_x&=1-\lambda(2x +yz)=0,&&(01)\\[1ex]
f_y&=1-\lambda(2y+xz)=0,&&(02)\\[1ex]
f_z&=1-\lambda(2z +xy)=0,&&(03)\\[1ex]
f_{\lambda}&=x^2+y^2+z^2+xyz-4=0,&&(04)\\[1ex]
\end{aligned} \right.\] $(01)$ 与 $(02)$ 联立得消 $\lambda$ ，分解因式得 \[(x-y)(2-z)=0,\] 显然 $z\ne 2$ 否则 $x+y=0$ 与题设矛盾，从而只有 $x=y$ 成立.

同样的，$(01)$与 $(03)$ 联立消 $\lambda$ 到得 $x=z$ ，即有 $x=y=z$ ，代入 $(04)$ 得 \[x^3+3x^2-4=0,\] 由于此方程的系数和为零，于是有得其解 $x=1$ ，又 $y=x^3+3x^2-4$ 是单调递增的，于是得到惟一的稳定点 $P_0$ :\[P_0(x,y,z)=P_0(1,1,1),\,\lambda=1/3.\] 考察 $f$ 在 $P_0$ 黑赛（Hesse）矩阵 \[H_{f(P_0)}=\begin{bmatrix} -\frac23&-\frac13&-\frac13\\
-\frac13&-\frac23&-\frac13\\
-\frac13&-\frac13&-\frac23\\
\end{bmatrix},\] 计算得

$-\frac23\color{red}{<0}$ ， \[\begin{vmatrix} -\frac23&-\frac13\\
-\frac13&-\frac23 \end{vmatrix} =\frac13\color{red}{>0}\]， \[\begin{vmatrix} -\frac23&-\frac13&-\frac13\\
-\frac13&-\frac23&-\frac13\\
-\frac13&-\frac13&-\frac23\\
\end{vmatrix} =-\frac4{27}\color{red}{<0}\] ，

即黑赛（Hesse）矩阵负定，这表明 $P_0(1,1,1)$ 是极大值点，从而 \[(x+y+z)_{\max}=3.\]

O-17

突然发现予一人的方法和kuing在7年前一样

isee

O-17 发表于 2023-8-16 00:51
突然发现予一人的方法和kuing在7年前一样

英雄所见略同，况且是名题呢