函数的最值与恒成立问题

apk

这是原题：

这是网上流传的解答过程：



上面贴出的解答过程中将“函数的最大值为-3”等价成了“函数值恒大于等于-3”显然是有问题的，可是这样算出来的答案却又和正确答案[-3/2,12]是一样的，这是偶然呢，还是这个函数的特殊性引起的？请教各位。(另外，这题用正常方法该怎样解？)

kuing

通常来说“函数的最小值为 $-3$”当然不能直接等价成“函数值恒 $\ge-3$”，
而这题之所以这样算也正确，是因为这题有个特殊的地方，那就是无论 $a$ 为何值都有 $f(\pi/2)=-3$，既然 $-3$ 一定能取到，那么恒 $\ge-3$ 就等价于最小值为 $-3$ 了，所以要使解答过程严密，必须先说明这一点。

游客

$\left(a \cos ^2 \theta-3\right) \sin \theta \geq-3$ 对 $\theta \inR$ 恒成立。
即：$a \cos ^2 \theta \sin \theta \geq 3 \sin \theta-3$ 对 $\theta \inR$ 恒成立，
等价于＂$a(1+\sin \theta) \sin \theta \geq-3$ 对 $\theta \inR$ 恒成立＂。
而函数 $y=(1+\sin \theta) \sin \theta$ 的值域为 $\left[-\frac{1}{4}, 2\right]$ ，
线段只要两端点满足就可以了，得解。

isee

已知函数$f(x)=(a\cos^2 x-3)\sin x$最小值为$-3$，则实数$a$的取值范围是___.    

isee

此题 可以搜索到是 2010年全国高中数学联赛 一试 填空题的第二题

顶楼的解法 是菁x网的解析

实际上 把第9行，分离参变量即可，和 游客 方法就同质了

敬畏数学

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