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kuing
Post time 2016-4-4 16:02
这个三角形的形状是唯一确定的。
记 $x=\tan A$, $y=\tan B$, $z=\tan C$，则由 $A>B>C$ 知必有 $y>z>0$，由整数，即 $z\geqslant1$, $y\geqslant z+1$，熟知有恒等式 $x+y+z=xyz$，解得
\[x=\frac{y+z}{yz-1},\]
分母为正，所以 $x$ 也是正的，因此 $x>y>z>0$，又由
\[\frac{y+z}{yz-1}=\frac1z+\frac{1+z^2}{z(yz-1)}\]
可知其关于 $y$ 递减，所以
\[x=\frac{y+z}{yz-1}\leqslant\frac{z+1+z}{(z+1)z-1}
=\frac4{2z+1-\frac5{2z+1}}\leqslant\frac4{3-\frac53}=3,\]
即 $3\geqslant x>y>z>0$，三个都为整数，所以只能是 $x=3$, $y=2$, $z=1$，即 $A=\arctan3$, $B=\arctan2$, $C=\arctan1=45\du$。 |
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榕坚
Post time 2016-4-4 15:46
