来自某教师群的n元不等式$\sum a_i/\sqrt{a_i^4+3}\le$

kuing

东莞李晴晴(2823******) 17:49:01


先证明对于任意正数 $x$ 都有
\[\frac1{2x}-\frac x{\sqrt{x^4+3}}\geqslant -\frac34\ln x. \quad (*)\]

（1）当 $0<x\leqslant 1$ 时，熟知
\[\ln x\geqslant \frac12\left( x-\frac1x \right),\]
则只需证
\[\frac1{2x}-\frac x{\sqrt{x^4+3}}\geqslant -\frac38\left( x-\frac1x \right),\]
事实上
\[\left( \frac1{2x}+\frac38\left( x-\frac1x \right) \right)^2-\frac{x^2}{x^4+3}
=\frac{3(x^2-1)^2(3x^4+8x^2+1)}{64x^2(x^4+3)}\geqslant 0;\]

（2）当 $x\geqslant 1$ 时，熟知
\[\ln x\geqslant 1-\frac1x,\]
则只需证
\[\frac1{2x}-\frac x{\sqrt{x^4+3}}\geqslant -\frac34\left( 1-\frac1x \right),\]
事实上
\[\left( \frac1{2x}+\frac34\left( 1-\frac1x \right) \right)^2-\frac{x^2}{x^4+3}
=\frac{3(x-1)^2(3x^4+4x^3-4x+1)}{16x^2(x^4+3)}\geqslant 0.\]

综合（1）（2），式 (*) 得证，所以
\[\sum_{i=1}^n\left(\frac1{2a_i}-\frac{a_i}{\sqrt{a_i^4+3}}\right)
\geqslant -\frac34\sum_{i=1}^n\ln a_i=0,\]
原不等式得证。

kuing

突然发现我证笨了，完全可以先加强并去根号。

由于 $a_i^4+3\geqslant 2a_i^2+2\geqslant (a_i+1)^2$，故只需证更强式
\[\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{a_i+1}\leqslant \sum_{i=1}^n\frac1{2a_i},\]
令 $a_i=1/x_i$，则也有 $x_i>0$, $x_1x_2\cdots x_n=1$，要证明的就是
\[\sum_{i=1}^n\frac1{1+x_i}\leqslant \sum_{i=1}^n\frac{x_i}2,\]
令
\[f(x)=\frac x2-\frac1{1+x}-\frac34\ln x,\]
求导得
\[f'(x)=\frac{(x-1)(2x^2+3x+3)}{4x(1+x)^2}\riff f(x)\geqslant f(1)=0,\]
由此得
\[\sum_{i=1}^n\left(\frac{x_i}2-\frac1{1+x_i}\right)\geqslant \frac34\sum_{i=1}^n\ln x_i=0,\]
即得证。