来自人教群的乱出的概率题

kuing

豫H教师小乙(3455*****)  10:53:21

12题大家伙看看

这……唉，又是一不懂概率的在乱出题……

首先这里哪些是随机变量以及是什么分布都没说清楚，这里假设 $\alpha$, $n$ 都是随机变量，并且按照高中题的不知谁说的惯例——随机变量默认按均匀分布来算。
另外，这里最好不要设 $\alpha\inR$（原因见3楼），根据周期性这里可以改成 $\alpha\in[0,2\pi]$。

下面简略写写在此情况下结果到底是啥。

如图，设 $\odot O$: $x^2+y^2=6^2$，设点 $N(2n,n)$，则 $N$ 在 $O$ 与 $(4,2)$ 的连线上，以 $N$ 为圆心作半径为 $3$ 的 $\odot N$: $(x-2n)^2+(y-n)^2=3^2$，则 $\bm c$ 的终点在此圆上。

容易计算出，当 $0\leqslant n\leqslant 3/\sqrt5$ 时，两圆内含或内切；当 $3/\sqrt5<n\leqslant2$ 时，设两圆交于 $A$, $B$，两圆相减得出共公弦 $AB$ 的方程为 $4nx+2ny-5n^2-27=0$，易知 $N$ 一定在直线 $AB$ 的下方，且 $N$ 到 $AB$ 的距离为
\[d=\frac{27-5n^2}{2\sqrt5n},\]
那么
\[\angle ANB=2\arccos\frac d3=2\arccos\frac{27-5n^2}{6\sqrt5n},\]
所以，当 $\alpha$ 在 $[0,2\pi]$ 上，以及 $n$ 在 $[0,2]$ 上都服从均匀分布时，所求的概率为
\begin{align*}
P&=\frac12\cdot \frac3{\sqrt5}+\int_{3/\sqrt5}^2\left( 1-\frac1{2\pi}\cdot 2\arccos\frac{27-5n^2}{6\sqrt5n} \right)\frac{\rmd n}2 \\
&=1-\frac1{2\pi}\int_{3/\sqrt5}^2\arccos\frac{27-5n^2}{6\sqrt5n}\rmd n,
\end{align*}
最后这个积分我不会积，用软件也是得出一堆不知啥东西，算近似值好了，最终结果为 $P\approx 0.90658$，四个选项里最大的那个都比这个小。

kuing

肯定有人对此结果表示怀疑，还好我们有万能的软件模拟验证法：

1. i = 0;
2. m = 10^7;
3. Do[n = RandomReal[2];
4.   a = RandomReal[2 Pi];
5.   If[(2 n + 3 Cos[a])^2 + (n - 3 Sin[a])^2 <= 36, i++], {m}];
6. N[i/m]

Copy the Code

在 Mathematica 里运行一会儿，看看是什么结果。
刚才运行的一次结果为：

kuing

粤A爱好者战巡(3705*****)  15:43:25
不只是扔掉的问题，完全就是错的
题目里只字未提随机的问题，连哪些是随机变量都没说，还搞个屁
要我说，n和α都是某个未知的定值，那还算毛线概率

粤A爱好者战巡(3705*****)  15:52:20
退一万步讲，即便你n和α都是随机变量，你的分布有说么？n你硬要假设是均匀这也还罢了，“对$\forall \alpha\inR$”这个你怎么均匀？这就是个非正常分布，概率论里面根本不允许使用，只有贝叶斯一派的人在某些特定情况下才会用，而且他们也没法写出这个分布的pdf，只能写π(x)∝1

血狼王

这种考题不知何方人士所出

tenica

猜想命题者原意为：向量c的长度的最小值、最大值分别对应于数轴上的A、B两点。在线段AB上随机取一点P，则线段AP的长度不超过6的概率为（）