求积分

血狼王

求下面的积分：
$$\int_{0}^{\infty} \frac{1-e^{-x^2}}{x^2}\cos(x)\rmd x$$
和
$$\int_{0}^{\infty} \frac{1-e^{-x^2}}{x^2}\sin(x)\rmd x$$
。

青青子衿

回复 1# 血狼王
用MMA算过得到的结果都是非初等的

1. \!\(
2. \*SubsuperscriptBox[\(\[Integral]\), \(0\), \(+\[Infinity]\)]\(
3. \*FractionBox[\(1 -
4. \*SuperscriptBox[\(E\), \(-
5. \*SuperscriptBox[\(x\), \(2\)]\)]\),
6. SuperscriptBox[\(x\), \(2\)]] Cos[x] \[DifferentialD]x\)\)

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1. \!\(
2. \*SubsuperscriptBox[\(\[Integral]\), \(0\), \(+\[Infinity]\)]\(
3. \*FractionBox[\(1 -
4. \*SuperscriptBox[\(E\), \(-
5. \*SuperscriptBox[\(x\), \(2\)]\)]\),
6. SuperscriptBox[\(x\), \(2\)]] Sin[x] \[DifferentialD]x\)\)

Copy the Code

kuing

回复 2# 青青子衿

这是什么代码啊？

不是可以复制为 latex 代码吗：

粘贴后为：
\frac{\sqrt{\pi }}{\sqrt[4]{e}}-\frac{1}{2} \pi  \text{erfc}\left(\frac{1}{2}\right)
两边加上 \ [ \ ] 即
\[\frac{\sqrt{\pi }}{\sqrt[4]{e}}-\frac{1}{2} \pi  \text{erfc}\left(\frac{1}{2}\right)\]

hbghlyj

找到了AOPS上相关帖子　(楼主的帖子)
(2)Find $\int_{0}^{\pi} \frac{1-e^{-x^2}}{x^2}\cos(nx) dx.$　($n\in \mathbb{N}^+$)

相关:
根据定义,FourierCosCoefficient[(1 - Exp[-x^2])/x^2, x, n]等于$\frac2\pi\int_{0}^{\pi} \frac{1-e^{-x^2}}{x^2}\cos(nx) dx.$
根据Riemann-Lebesgue lemma $\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{\pi} \frac{1-e^{-x^2}}{x^2}\cos(nx) dx=0$

hbghlyj

Evaluate $\int_0^{\infty} \! \left(1 - e^{-\frac{1}{x^2}}\right) \, dx$.
Quick sub : $x=t^{-1}$, the integral is : $\int_0^{\infty} \frac{1-e^{-x^2}}{x^2} \ \mathrm{d}x$, now define a function $f$ on $\mathbb{R}_+$ such that : \[f(a)= \int_0^{\infty} \frac{1-e^{-a x^2}}{x^2} \ \mathrm{d}x.\] Differentiate to get : $f'(a)=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}}$, then integrate to get : $f(a)=\sqrt{a\pi}$ for any $a\geq 0$ (note that $f(0)=0$).
Therefore the proposed integral is : $f(1)=\sqrt{\pi}$.

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-2-25 12:25
Differentiate to get : $f'(a)=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}}$

使用了“积分符号内取微分”的方法