含三角函数的几个极限

dim

1.$\lim_{n \to \infty}{\frac{1}{\ln n}\sum_{k=1}^n\abs{\frac{\sin{kx}}{k}}}$是否存在？存在的话极限是多少？如果把正弦换为余弦又会怎样？
2.$\lim_{n \to \infty}{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\abs{\sin{kx}}}$是否存在？存在的话极限是多少？如果把正弦换为余弦又会怎样？
谢了！

hbghlyj

2.

• 当 \(x\) 是 \(\pi\) 的有理数倍时 (\(x = \frac{p}{q}\pi\))
  \(a_k = |\sin(k \frac{p}{q}\pi)|\) 是一个周期为 \(q\) 的序列。对于周期序列，其切萨罗平均等于它在一个周期内的算术平均值。\(\lim_{n \to \infty}{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\abs{\sin{(k\frac{p}{q}\pi)}}} = \frac{1}{q}\sum_{k=1}^{q}\abs{\sin\left(\frac{kp}{q}\pi\right)}\)。
• 当 \(x\) 是 \(\pi\) 的无理数倍时 (\(x/\pi \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\))
  由 Weyl's Criterion \(\{kx \bmod2\pi\}\) 在 \([0, 2\pi]\) 上是均勻分布的。由Riemann integral criterion for equidistribution，我们有： \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(\{kx \bmod2\pi\}) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(\theta)d\theta\)
  我们的极限值就是这个函数$\abs{\sin\theta}$的积分平均值：\(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|\sin\theta|d\theta = \frac{2}{\pi}\)。

如果把正弦换为余弦？\(\lim_{n \to \infty}{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\abs{\cos{kx}}}\) 分析过程完全相同。

• 有理数倍\(x = \frac{p}{q}\pi\)：极限是序列 \(|\cos(k \frac{p}{q}\pi)|\) 在一个周期内的平均值，即 \(\frac{1}{q}\sum_{k=1}^{q}\abs{\cos\left(\frac{kp}{q}\pi\right)}\)。
• 无理数倍 \(x/\pi\)：极限是函数 \(|\cos\theta|\) 在 \([0, 2\pi]\) 上的积分平均值，即 \(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\abs{\cos\theta}d\theta = \frac{2}{\pi}\)。

hbghlyj

下面把两道题放在一起说。 记
$$ a_k(x) = |\sin kx|, \quad b_k(x) = |\cos kx|, \quad S_n(x) = \sum_{k=1}^{n} a_k(x), \quad C_n(x) = \sum_{k=1}^{n} b_k(x). $$
我们需要研究
$$A_n(x) = \frac{1}{\ln n} \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k(x)}{k},\quad B_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} a_k(x), $$
以及把 $\sin$ 换成 $\cos$ 后的同类量。

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一、先说明 $A_n$ 的极限与 $B_n$ 的极限相同
若已知
$$ \lim_{n \to \infty} B_n(x) = L(x), $$
那么必有
$$ \lim_{n \to \infty} A_n(x) = L(x). \tag★\label★$$
证明（Abel–部分求和法）
设 $T_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k(x)}{k}$. 记 $S_k = \sum_{j=1}^{k} a_j(x) = k L(x) + o(k)$.
部分求和得到
$$ T_n = \frac{S_n}{n} + \sum_{k=1}^{n-1} S_k \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = L(x) \ln n + o(\ln n). $$
于是 $A_n(x) = T_n / \ln n \to L(x)$.
因此两问都归结为研究 $B_n(x)$ 的极限。

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二、$B_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} |\sin kx|$ 的极限
$x / \pi$ 为无理数$\{kx \bmod 2\pi\}$ 在 $[0, 2\pi)$ 上均匀分布（Weyl 定理）。
对连续函数 $f(\theta) = |\sin \theta|$ 有
$$ \lim_{n \to \infty} B_n(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |\sin \theta| , d\theta = \frac{2}{\pi}$$
同理 $|\cos \theta|$ 的积分也是 $2 / \pi$。
$$ \Rightarrow \quad \text{当 } x / \pi \notin \mathbb{Q} \text{ 时} \quad \lim B_n(|\sin|) = \lim B_n(|\cos|) = \frac{2}{\pi}, \quad \lim A_n(|\sin|) = \lim A_n(|\cos|) = \frac{2}{\pi} , (\text{由 } \eqref★). $$
$x / \pi = p / q$ 为有理数（$p, q$ 互素，$q > 0$）序列 $\sin(kx)$ 只取有限多个值并呈周期性。
设最小正周期
$$ T = \begin{cases} q, & p \text{ 为偶}, \\ 2q, & p \text{ 为奇}. \end{cases} $$
则平均值就是一个有限和：
$$ L_{\sin}(x) = \frac{1}{T} \sum_{k=1}^{T} |\sin(kx)|, \quad L_{\cos}(x) = \frac{1}{T} \sum_{k=1}^{T} |\cos(kx)|. $$
于是
$$ \lim_{n \to \infty} B_n(|\sin|) = L_{\sin}(x), \quad \lim_{n \to \infty} B_n(|\cos|) = L_{\cos}(x), $$
而由 \eqref{★} 得
$$ \lim_{n \to \infty} A_n(|\sin|) = L_{\sin}(x), \quad \lim_{n \to \infty} A_n(|\cos|) = L_{\cos}(x). $$
例子

• $x = \pi \quad \Rightarrow \quad |\sin(k\pi)| = 0, \quad |\cos(k\pi)| = 1$
  $\to , L_{\sin} = 0, \quad L_{\cos} = 1.$
• $x = \pi / 2 \quad \Rightarrow \quad |\sin(k\pi/2)|$ 周期 $4$ 为 $1, 0, 1, 0$
  $\to , L_{\sin} = \frac{1}{2};$
  同理 $|\cos(k\pi/2)|$ 为 $0, 1, 0, 1 \to L_{\cos} = \frac{1}{2}.$

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三、结论汇总
记
$$ L_{\sin}(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{2}{\pi}, & x / \pi \notin \mathbb{Q}, \\\displaystyle \frac{1}{T} \sum_{k=1}^{T} |\sin kx|, & x / \pi = p / q \in \mathbb{Q}, \; T = \begin{cases} q, & p \text{ 偶}, \\ 2q, & p \text{ 奇}. \end{cases} \end{cases} $$
$L_{\cos}(x)$ 的公式与上式相同，只需把 $\sin$ 换成 $\cos$。
那么

• 带 $1/k$ 的和
  $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\ln n} \sum_{k=1}^{n} \frac{|\sin kx|}{k} = L_{\sin}(x), $$
  同理把 $\sin \to \cos$ 得 $L_{\cos}(x)$。
• 普通平均
  $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} |\sin kx| = L_{\sin}(x), $$
  同理把 $\sin \to \cos$ 得 $L_{\cos}(x)$。

特别地

• 若 $x / \pi$ 无理，两种极限都等于 $2 / \pi$（无论 $\sin$ 还是 $\cos$）。
• 若 $x = \pi$，$\sin$ 情况极限为 $0$，$\cos$ 情况极限为 $1$。