来自人教群的三边多根号不等式

kuing

京X学生多多(1399******)  9:57:14

证明：由
\[\left( \sum\frac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt b+\sqrt c-\sqrt a} \right)^2\leqslant 3\sum\frac{b+c-a}{\bigl( \sqrt b+\sqrt c-\sqrt a \bigr)^2},\]
可知只需证明如下更强式
\[\sum\frac{b+c-a}{\bigl( \sqrt b+\sqrt c-\sqrt a \bigr)^2}\leqslant 3,\]
下面证明对于任意 $x$, $y$, $z\geqslant0$, $\prod(y+z-x)\ne0$，都有
\[\sum\frac{y^2+z^2-x^2}{(y+z-x)^2}\leqslant 3,\]
因为
\[1-\frac{y^2+z^2-x^2}{(y+z-x)^2}=\frac{2(x-y)(x-z)}{(y+z-x)^2},\]
所以等价于证
\[\sum\frac{(x-y)(x-z)}{(y+z-x)^2}\geqslant 0,\]
不妨设 $x\geqslant y\geqslant z$，上式可整理为
\[\frac{(x-y)^2}{(y+z-x)^2}
+\frac{4z(x-y)^2(y-z)}{(y+z-x)^2(z+x-y)^2}
+\frac{(z-x)(z-y)}{(x+y-z)^2}\geqslant 0,\]
显然成立，即得证。

战巡

按照它那里面的写法，我会理解成这样：
$a,b,\tau$是一个三角形的边长

\[\frac{\sqrt{b+\tau-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{\tau}-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{\tau+a-b}}{\sqrt{?}+\sqrt{a}-\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{a+b-c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{\tau}}\]
其中?处不知是何种符号，无法识别

kuing

回复 2# 战巡

不过这里的字体 $\tau$ 跟 times 风格的 不太一样

还有最后那个可能是 $\zeta$