求助两个级数极限

dim

\[
\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\frac{\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2 + k^4 x^2} - \frac{\pi^2}{6}}{x} + \frac{\pi}{2}}x- \frac{1}{2}}{\frac{1 - \coth\left(\frac{\pi}{x}\right)}{x}} = \frac{\pi}{2}
\]\[
\lim_{x \to 0}\frac{\frac{\frac{\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2 + k^3 x} - \frac{\pi^2}{6} - x \ln(x)}{x} + \gamma}x+ \frac{1}{2}}x = \frac{1}{12}
\]其中$\gamma$是指欧拉常数。

战巡

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1、
\[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2+k^4x^2}=\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{1}{k^2}-\frac{1}{\frac{1}{x^2}+k^2})=\frac{\pi^2}{6}+\frac{x^2}{2}-\frac{\pi x\coth(\frac{\pi}{x})}{2}\]
后面那块求和参见forum.php?mod=viewthread&tid=1668#pid5181

剩下没啥难的，自己搞定吧
最后你会发现极限根本没多大意义，完全就是恒等的，求极限只不过是把$x=0$这个间断点补上

战巡

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2、
\[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2+k^3x}=\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{1}{k^2}-\frac{x}{k}+\frac{x}{\frac{1}{x}+k})\]
\[=\frac{\pi^2}{6}-x·\lim_{n\to\infty}(\ln(n)+\gamma-(\psi(\frac{1}{x}+1+n)-\psi(\frac{1}{x}+1))=\frac{\pi^2}{6}-x(\gamma+\psi(\frac{1}{x}+1))\]
\[原式=\lim_{x\to0}-\frac{\psi(\frac{1}{x}+1)+\ln(x)}{x^2}+\frac{1}{2x}\]
后面变成双伽马的展开问题，有
\[\psi(\frac{1}{x}+1)=-\ln(x)+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{12}+\frac{x^4}{120}+o(x^6)\]
极限自己算吧

dim

回复 3# 战巡


    话说那个展开如何算？