高三不等式 $x^2e^x-\ln x>1$

wzyl1860

当$x>0$时 $x^2e^x-\ln x>1$

kuing

因为 $e^x>x+1\geqslant 2\sqrt x$，所以只要证更强式
\[2x^2\sqrt x-\ln x>1,\]
作置换 $x\to x^2$ 即证 $2x^5-2\ln x>1$，令
\[f(x)=2x^5-2\ln x-1,\]
则
\[f'(x)=10x^4-\frac2x=\frac{2(5x^5-1)}x
\riff f(x)\geqslant f\left(\frac1{\sqrt[5]{5}}\right)=\frac25\ln5-\frac35,\]
因此只需证明 $2\ln5>3$ 即可，这等价于 $25>e^3$，易知成立，所以原不等式得证

longzaifei

设$F(x)=x^2 e^x-\ln x$
$\because F'(x)=x^2 e^x+2 x e^x-\frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 单增。
$\therefore F'(x)=0$ 有唯一解，设为 $x_0$
由零点存在定理，可知 $x_0 \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$
$\therefore F(x)$ 在 $x=x_0$ 时，取到最小值。
且 $x_0^2 e^{x_0}+2 x_0 e^{x_0}-\frac{1}{x_0}=0 \quad \therefore e^{x_0}=\frac{\frac{1}{x_0}}{x_0^2+2 x_0}$
$F(x)$ 的最小值为
\[
F(x_0)=x_0^2 e^{x_0}-\ln x_0=\frac{1}{x_0+2}-\ln x_0 \quad x_0 \in\left(0, \frac{1}{2}\right)
\]
易知 $F(x_0)>\frac{1}{\frac{1}{2}+2}-\ln \frac{1}{2}=\frac{2}{5}+\ln 2>1$

wzyl1860

k版，果然好手段，学习了！

kuing

回复 3# longzaifei

初时我也想过这样做，但要估计零点什么的，于是想到不如先放缩一下试试，果然搞定

realnumber

利用这个\[x\ge \ln{(1+x)}     即x-1\ge \ln{x}\]
\[x^2e^x-\ln{x}\ge x^2e^x-x+1>1\]
上式对$x\ge  1$成立.
而$0<x\le\frac{1}{e}$时，$x^2e^x>0,-\ln{x}>1$.
$1>x>\frac{1}{e}$时，怎么办？

v6mm131

分离 碰运气
问题：$x>0$，证明：$f(x)=x^2 e^x-\ln x>1$
解答：问题等价于证明：$\frac{e^x}{x}>\frac{1+\ln x}{x^3}$
不妨令 $g(x)=\frac{e^x}{x}, h(x)=\frac{1+\ln x}{x^3}$
一方面：$g'(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$
当 $x \in(0,1), g'(x)<0, g(x)$ 单调递减
当 $x \in(1,+\infty), g'(x)>0, g(x)$ 单调递增
所以 $x=1$ 时， $g(x)=\frac{e^x}{x}$ 的最小值是 $e$，当且仅当 $x=1$ 时取等号；
另一方面：$h'(x)=-\frac{2+3 \ln x}{x^4}$
当 $x \in\left(0, e^{-\frac{2}{3}}\right)$, $g'(x)>0$, $g(x)$ 单调递增
当 $x \in\left(e^{-\frac{2}{3}},+\infty\right)$, $g'(x)<0$, $g(x)$ 单调递减
所以 $x=e^{-\frac{2}{3}}$ 时， $g(x)=\frac{e^x}{x}$ 的最大值是 $\frac{e^2}{3}$，当且仅当 $x=e^{-\frac{2}{3}}$ 时取等号；
注意到 $e>\frac{e^2}{3}$，从而可知对一切 $x \in(0,+\infty)$ 都有 $\frac{e^x}{x}>\frac{1+\ln x}{x^3}$即 $x^2 e^x-\ln x>1$ 得证。

kuing

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这也行……

敬畏数学

回复 7# v6mm131
出题人的意图就是作者的思路！。牛！！！

游客