来自人教群的正方体三顶点到平面距离

kuing

渝X教师，周伟(2859*****)  15:05:28

15题

设 $\alpha$ 上的法向量为 $\bm n$，设 $\bm b=\vv{AB}$, $\bm c=\vv{AC}$, $\bm d=\vv{AD}$，则
\[\cos^2\langle\bm n,\bm b\rangle+\cos^2\langle\bm n,\bm c\rangle+\cos^2\langle\bm n,\bm d\rangle=1,\]
设 $D$ 到 $\alpha$ 的距离为 $m$，则
\[\left(\frac13\right)^2+\left(\frac{\sqrt2}3\right)^2+\left(\frac m3\right)^2=1,\]
解得 $m=\sqrt6$。

游客

15题直接用空间坐标把3个距离表示出来也简单的，上面14题把目标展开配方，变成直线与圆的位置关系，有点坑。

kuing

话说，这么看来“三条棱在 $\alpha$ 同侧”似乎是多余的。

敬畏数学

回复 1# kuing
这解法很妙啊！空间向量在任意三个互相垂直的基向量方向余弦平方和为1！也可以类比平面向量得到该结论！

chen、bin

空间向量在任意三个互相垂直的基向量方向余弦平方和为1学习了，待我自己证明一下