不等式一题,平方还行吗？

realnumber

求证：
\[\sqrt{2}+\sqrt{6}+\sqrt{8}>\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7} \]

游客

左边>1.41+2.44+2.82=6.67，右边<1.74+2.24+2.65=6.63

色k

真沒意思

realnumber

我改下题目，还是好不了多少....
\[n>0,proof :\sqrt{n+2}+\sqrt{n+6}+\sqrt{n+8}>\sqrt{n+3}+\sqrt{n+5}+\sqrt{n+7} \]

游客

游客

kuing

回复 4# realnumber

这样还好些，不过也没什么难度，等价于
\[\sqrt{n+8}-\sqrt{n+7}+\sqrt{n+6}-\sqrt{n+5}>\sqrt{n+3}-\sqrt{n+2},\]
分子有理化为
\[\frac1{\sqrt{n+8}+\sqrt{n+7}}+\frac1{\sqrt{n+6}+\sqrt{n+5}}
>\frac1{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}},\]
只需证
\[\frac2{\sqrt{n+8}+\sqrt{n+7}}>\frac1{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2}},\]
只需证
\[\sqrt{\frac{n+8+n+7}2}<\sqrt{n+3}+\sqrt{n+2},\]
两边平方易证之。

游客

回复 7# kuing


    你放缩够狠的！

kuing

回复 8# 游客

全部分子有理化之后已经看出不等式很弱了，所以可以放心放缩