解三角形

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在$\triangle ABC$ 中$\sqrt{3}ab\sin C-ab\cos C=c^2$，求角$C$.

色k

两边乘以$2$再用面积公式和余弦定理为 $4\sqrt3S-(a^2+b^2-c^2)=2c^2$，即 $a^2+b^2+c^2=4\sqrt3S$，根据熟知的外森比克不等式，可知这只能是等边三角形。

PS、楼主的公式输入需改进：\mbox{sin}C 应改为 \sin C

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谢谢。有没有不用外森比克不等式的做法？

色k

將外森比克不等式的證明套上去就可以寫成“不用外森比克不等式”的解法了啊

色k

比如说，可以抄一下外森比克不等式的内切圆代换证法：
令 $a=y+z$, $b=z+x$, $c=x+y$, $x$, $y$, $z>0$，则
\begin{align*}
a^2+b^2+c^2-4\sqrt3S&=\sum(x+y)^2-4\sqrt{3xyz(x+y+z)}\\
&=\sum(x-y)^2+4\bigl(xy+yz+zx-\sqrt{3xyz(x+y+z)}\bigr),
\end{align*}
易证 $xy+yz+zx\geqslant\sqrt{3xyz(x+y+z)}$，故当 $a^2+b^2+c^2=4\sqrt3S$ 时只能 $x=y=z$，即正三角形。

色k

昂，你想要的证法大概是酱紫的：
\begin{align*}
\sqrt3ab\sin C-ab\cos C=c^2
&\iff \sqrt3ab\sin C-ab\cos C=a^2+b^2-2ab\cos C\\
&\iff ab\bigl(\sqrt3\sin C+\cos C\bigr)=a^2+b^2\\
&\iff 2ab\sin(C+30\du)=a^2+b^2,
\end{align*}
故由 $a^2+b^2\geqslant2ab\geqslant2ab\sin(C+30\du)$ 可知只能 $a=b$ 且 $C=60\du$。

isee

昂，你想要的证法大概是酱紫的：
\begin{align*}
\sqrt3ab\sin C-ab\cos C=c^2
&\iff \sqrt3ab\sin C-ab\co ...
色k 发表于 2016-4-30 22:59

这样一看，这题有点意思的三角题

kuing

回复 7# isee

这个证法实际上也是外森比克不等式的经典证法之一，相对来说较容易被中学所接受。

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回复 6# 色k


   
谢谢。。。