一个代数变形问题

力工

已知正实数a,b,c满足$  a\geqslant b\geqslant c$，且\[ a^2-ab+bc=b^2-bc+ca=c^2-ca+ ab=1\]，求a,b,c的值。
可以猜出a,b,c都为1，但不知道如何变形。

kuing

还好我先开挂看看，果然发现还有一个解：$a \approx 1.437$, $b \approx 0.924139$, $c \approx 0.284615$（遇三次方程）

虽然不算错题，不过还是扔掉吧……

kuing

代求根公式具体搞出来最终就是
\begin{align*}
a&=\sqrt{1+\frac2{\sqrt3}\cos\left(\frac13\arccos\frac{3\sqrt3}{14}\right)},\\
b&=\sqrt{1+\frac2{\sqrt3}\cos\left(\frac13\arccos\frac{3\sqrt3}{14}-\frac{2\pi}3\right)},\\
c&=\sqrt{1+\frac2{\sqrt3}\cos\left(\frac13\arccos\frac{3\sqrt3}{14}+\frac{2\pi}3\right)}.
\end{align*}

力工

回复 3# kuing

那直接去掉=1，就是解\[ a^2-ab+bc=b^2-bc+ca=c^2-ca+ab \]呢？那就用c表示a,b了？

kuing

回复 4# 力工

那就上述解乘以任意一个系数都是解了啊

血狼王

回复 1# 力工

这类问题江湖上很多，一不小心就碰上了

力工

回复 6# 血狼王

有人的地方就有江湖。

血狼王

一个类似的问题：
解方程组
$\led a^2+2ab&=3 \\ b^2+2bc&=3 \\ c^2+2ca&=3 \endled$
。
很简单？
只是看上去是而已。
内有乾坤

kuing

回复 8# 血狼王

消元后 $(a^2-1)(a^6-27a^4+99a^2-9)=0$
或 $(a^2-1)(a^3-3a^2-9a+3)(a^3+3a^2-9a-3)=0$
反正也是三次方程的料……
当然，这个解的表达式简单些……