来自某教师群的多参数向量题

kuing

河北石家庄(3843*****)  21:10:49
没睡的帮看下这个题

题目：设 $k\inR$，对任意的向量 $\bm a$, $\bm b$ 和实数 $x\in[0,1]$，如果满足 $\abs{\bm a}=k\abs{\bm a-\bm b}$，则有 $\abs{\bm a-x\bm b}\leqslant \lambda\abs{\bm a-\bm b}$ 成立，那么实数 $\lambda$ 的最小值为

A. $1$      B. $k$      C. $(k+1+\abs{k-1})/2$      D. $(k+1-\abs{k-1})/2$

解：
当 $x=1$ 时可得 $\lambda\geqslant 1$，当 $x=0$ 时可得 $\lambda\geqslant k$，故此 $\lambda$ 必须满足 $\lambda\geqslant \max\{1,k\}$。

下面证明当 $\lambda=\max\{1,k\}$ 时不等式恒成立。

（1）当 $0\leqslant k\leqslant 1$ 时，有 $\abs{\bm a}\leqslant \abs{\bm a-\bm b}$，平方得 $2\bm a\cdot\bm b\leqslant \bm b^2$，此时
\[\abs{\bm a-x\bm b}\leqslant \max\{1,k\}\abs{\bm a-\bm b}
\iff\abs{\bm a-x\bm b}\leqslant \abs{\bm a-\bm b}
\iff 2(1-x)\bm a\cdot\bm b\leqslant (1-x^2)\bm b^2,\]
故只需证 $(1-x)\bm b^2\leqslant (1-x^2)\bm b^2$，显然成立；

（2）当 $k>1$ 时，有 $\abs{\bm a}\geqslant \abs{\bm a-\bm b}$，平方得 $2\bm a\cdot\bm b\geqslant \bm b^2$，此时
\[\abs{\bm a-x\bm b}\leqslant \max\{1,k\}\abs{\bm a-\bm b}
\iff\abs{\bm a-x\bm b}\leqslant k\abs{\bm a-\bm b}
\iff\abs{\bm a-x\bm b}\leqslant \abs{\bm a}
\iff -2x\bm a\cdot\bm b+x^2\bm b^2\leqslant 0,\]
故只需证 $-x\bm b^2+x^2\bm b^2\leqslant 0$，显然成立。

所以当 $\lambda=\max\{1,k\}$ 时不等式恒成立，综上所述，$\lambda$ 的最小值就是 $\max\{1,k\}$，亦即选项 C。

isee

这过程写得太“难看”了

这也正好从另一方向说明了此题不好做。

某网还真有（温州某高一期末题），与楼主差不多的过程。


有误 ，删除过程

色k

某网还真有（温州某高一期末题），与楼主差不多的过程。
isee 发表于 2016-5-8 13:45

差不多？？为啥我觉得差很远，而且有问题， 这是为啥？另外也没有证明当 k<1 时 $\lambda=1$ 可使不等式成立，总之怎么看都很不严谨。

游客

如果只是个考试题，则取K=0，则所求最小值为1，验证选项只能是C。
选项A容易排除，看题目容易得出答案跟K有关。

如果要解，直接画个三角形就很显然得到最小值为MAX{1,K}.

敬畏数学

回复 5# 游客
great!就是此法！终于有高手看出来。。。。。

kuing

回复 5# 游客

原来如此，看来命题者就是这样搞出这题来的