$|x^3+px^2+qx+r|\le2$对$x\in[1,5]$成立求p,q,r

hjfmhh

kuing

令 $x=3+2u$，则由 $x\in[1,5]$ 得 $\abs u\leqslant 1$，代入已知不等式中可以整理为
\[\abs{4u^3+(\cdots)u^2+(\cdots)u+\cdots}\leqslant 1,\]
根据《数学空间》2014 年第 2 期（总第 16 期）P32 定理 2 知，上式绝对值内必为 3 次第一类切比雪夫多项式，由此已经可以把 $p$, $q$, $r$ 确定下来。
另外，由该定理的证明过程可知当 $u=\cos(0\pi/3)$, $\cos(1\pi/3)$, $\cos(2\pi/3)$, $\cos(3\pi/3)$ 时，即 $u=1$, $1/2$, $-1/2$, $-1$ 时，亦即 $x=5$, $4$, $2$, $1$ 时取等，这就是你发那个解法取那几个点的来由。

敬畏数学

回复 2# kuing
那个《数学空间》不等式的证明过程来不及细看，但为何这个多项式fn（x）仅由|x|<=1,|fn(x)|<=1便可以唯一确定（最多差个负号）有点神奇啊！能否给点直观解释吗？谢谢。。。。

游客

我觉得12<=12才是问题的关键，却被你忽略。

敬畏数学

回复 4# 游客
注意到这个等号。但是挖掘的不够深，还想不到唯一性（当n次项系数确定）！

kuing

那个《数学空间》不等式的证明过程来不及细看，但为何这个多项式fn（x）仅由|x|<=1,|fn(x)|<=1便可以唯一确定（最多差个负号）有点神奇啊！能否给点直观解释吗？谢谢。。。。
敬畏数学 发表于 2016-5-10 15:28

你不妨先想象一下二次函数的情形

敬畏数学

回复 3# 敬畏数学
这个说法错误！其实不唯一的，只在满足an=2^(n-1)时，fn（x）才唯一确定。或者满足an=-2^(n-1)时，fn（x）才唯一确定。
比如：f（x）=2x^2-1及f（x）=x^2-1均满足当|x|<=1,恒|f（x）|<=1.

nkzxwdy

有几处不懂：
（1）解答中12$\leqslant$12是怎样来的？
（2）解答中的四个方程解3个未知数，它们均不是同解方程，只要前3个就解出值，
       那么这四个方程是跟（1）中的12$\leqslant$12有关么？

色k

有几处不懂：
（1）解答中12<=12是怎样来的？
（2）解答中的四个方程解3个未知数，它们均不是同解方程，只要前3个就解出值，
       那么这四个方程是跟（1）中的12<=12有关么？
nkzxwdy 发表于 2016-5-11 09:15

中間的兩個不等式兩邊乘以2，然後全部相加即得。
既然能線性組合出來，自然有一個多餘方程。

游客

这个问题也可以用向量分解和行列式知识来得到一般方法。

好象多项式的问题都可以。Vandermonde  行列式。

nkzxwdy

回复 9# 色k
谢谢！