一个函数问题2016_5_11

realnumber

辽宁庄河高中朱--
$f(x)=\frac{e^x}{x},f(m)=f(n),求\frac{1}{n}+\frac{1}{m}$的取值范围.


先放个可能相关的连接
forum.php?mod=viewthread&tid=2497&highlight=

kuing

打漏了 $m\ne n$

realnumber

回复 2# kuing


    en ,应该加上，或换为m,n>0

realnumber

似乎这样可以
不妨设$0<m\le1,n\ge 1$,
利用$e^x\ge 1+x,e^x \ge 1+x+x^2/2,x\ge 0$
$e^{n-m}=\frac{n}{m}\ge 1+n-m+\frac{(n-m)^2}{2},得到\frac{1}{m}\ge 1+\frac{n-m}{2}$
即$n\le \frac{2}{m}+m-2$
可得$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\ge \frac{1}{m}+\frac{m}{m^2-2m+2}\ge 2$.(最后是减函数，求导)

realnumber

张小明老师的办法

isee

又是楼主智囊团解决了。。。。。。

realnumber

回复 6# isee


    群里在发，有人解答，就发上来了。
什么团，没有吧。

游客

作图其实很显然。

血狼王

事实上有更强结论：
$$3(m+n)^3\geq 8(m^2+mn+n^2).$$
大家不妨一试。