转：一个经典问题的推广

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西西：81/32可以放小 更能最好系数是1， 不过目前没有解决
左边第2项，右边一项的下标要修改为2，n

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下面的证明也拍个爪子：余姚三中   朱世杰

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1楼系数为1时的证明
\[\frac{1}{a_1^3}+\frac{2^3}{a_1^3+a_2^3}+\frac{3^3}{a_1^3+a_2^3+a_3^3}+ \cdots +\frac{n^3}{a_1^3+a_2^3+ \cdots +a_n^3}\le(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n})^3----①\]
\[设f(a_n)=(\frac{1}{a_1^3}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n})^3-(\frac{1}{a_1^3}+\frac{2^3}{a_1^3+a_2^3}+\frac{3^3}{a_1^3+a_2^3+a_3^3}+\cdots+\frac{n^3}{a_1^3+a_2^3+ \cdots +a_n^3})\]
以下证明$f(a_n)$为减函数.
\[f'(a_n)=3(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+ \cdots +\frac{1}{a_n})^2(-\frac{1}{a_n^2})+\frac{3a_n^2n^3}{(a_1^3+a_2^3+\cdots +a_n^3)^2}\le 0\]
\[等价于n^3a_n^4\le (\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+ \cdots +\frac{1}{a_n})^2(a_1^3+a_2^3+\cdots +a_n^3)^2 \]
\[令\frac{a_i}{a_n}=b_i,i=1,2,3,\cdots ,n-1\]
\[等价于n^{1.5}\le (\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+ \cdots +\frac{1}{b_{n-1}}+1)(b_1^3+b_2^3+\cdots +b_{n-1}^3+1)---①\]

kuing

很遗憾，你希望成立的\[n^{1.5}\le (\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+ \cdots +\frac{1}{b_{n-1}}+1)(b_1^3+b_2^3+\cdots +b_{n-1}^3+1)\]它并不成立，取 $b_{1}=b_{2}=\cdots =b_{n-1}=(n-1)/x$，此时
\[RHS-LHS=(x+1)\left( \frac{(n-1)^4}{x^3}+1 \right)-\sqrt{n^3},\]
取 $n=49$, $x=192$，上式为 $-21/4$。

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放弃会,
假设$a_{k}>a_{k+1}$,那么交换两者的值，右边不变，左边更大.
所以只需在$1=a_1\le a_2 \cdots \le a_n$条件下证明本题 .
\[(1+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n})^3(1+a_2^3+\cdots +a_n^3)\ge n^4\]
\[(1+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n})^2(1+a_2^3+\cdots +a_n^3)\ge n^3\]

Tesla35

回复 5# realnumber
叫我干啥

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证明：
$若1=a_1\le a_2 \le \cdots \le a_n，$

\[则1+\frac{2^2}{1+a_2^2}+\cdots +\frac{n^2}{1+a_2^2+\cdots +a_n^2}\le (1+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n})^2. \]
按西西的说法，杨学枝老师几年前已经解决本帖2次情景.
1楼系数为$\frac{81}{32}$以及次数n次的，西西都已经解决.而系数为1的,3次以及以上,还是没解决.

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2017-1-7 22:56 Upload

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以上就是西西提到的杨的证明，为了便于理解，配了个下标搭配的图.

如果能把3次的搭配出来，那么问题就解决了.似乎有点眉目.



终于搭配好，已经推广到n次，本题终于解决.过段时间发上来.

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1楼系数为1的证明过段时间发上来，
很不负责任地贴个猜想

其妙

看来西西当山大附中的竞赛教练了

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8楼附件已经放了1楼解答.