请教先取指数，再求和，再取对数，如何简化计算？

abababa

昨天网友问了一个问题，是求$\ln(e^{100001}+e^{100002}+\cdots+e^{100050})$，其中$e$是自然对数的底，省略号中省略的没什么规律，只是一些很大的数。他在计算器上算不了，我用Mathematic能算，整数部分就是最大的那个指数，小数部分要精确到第四位。
现在我想到这样一个问题：如果是求$\ln(e^{x_1}+e^{x_2}+\cdots+e^{x_n})$，这里$x_1$到$x_n$都不是特别大，但是$n$很大，有没有什么简化的方法能算出来一个较精确的数值结果？例如乘法，变成对数后能用加法算，加法就简单了，我可能说得不太明白，差不多就是这个意思。

isee

回复 1# abababa


    看看他们几个高材生，能否展开来求，就是转化成级数的意思，如果不能，估计就不是初等问题了。

游客

对数的真数是等比数列求和？不能有效放缩公比？

abababa

回复 3# 游客

不是，是一些没什么规律的数。我想到这个问题，其实是在Mathematica里做了一个运算，N[Log[Sum[E^(i), {i, 1, 100050}]], 10]，我发现这个有规律的计算也有点慢，软件还停顿了一下才出结果，我就猜是不是有的计算太复杂了，用电脑来算不如加法快，看了一些网上的资料，确实乘法不如加法快，所以就想这里的$e^{x_i}$求和再求对数，能不能变成对$x_i$的加法，最后再求一次对数函数或其它什么函数的，那样就快了。我对这方面不懂，说的也都不怎么准确。

realnumber

\[\ln(e^{x_1}+e^{x_2}+\cdots+e^{x_n})=x_1\ln(1+e^{x_2-x_1}+e^{x_3-x_1}+\cdots+e^{x_n-x_1})\]
会不会好点？瞎蒙下~~~

abababa

回复 5# realnumber

对一楼的问题，这样做能使数变小，但小的数和大的数，在求$e^x$方面有没有什么计算速度上的差别，我也不懂。但是对于四楼我说的Mathematica里的那个计算，这样做其实没能改变什么。