已知a>0,b<0,且(4a-1)(2b+1)= -9,若$(2a-b)x^2-abx-6≥0$总成立

游客

题目：已知 $a>0, b<0$，且 $(4 a-1)(2 b+1)=-9$，若 $(2 a-b) x^2-a b x-6 \geq 0$总成立，则实数 $x$ 的取值范围是   
\[
(4 a-1)(2 b+1)=-9 \Rightarrow(2 a-b)+4 a b=-4 .
\]
\[
\text { 记 } m=2 a-b, n=a b \text {, 则: }
\]
\[
m+4 n=-4, n \leq-2, m x^2-n x-6 \geq 0 \text { 总成立. }
\]
作图（线性规划）得：$x \geq 1$ 或 $x \leq-\frac{3}{2}$ ．
有巧妙点的方法没？

realnumber

鄞州慈溪余姚2016_5文科第15题
已知正实数$a,b$满足$2a+b+4=4ab$,若$(2a+b)x^2+abx-6\ge 0$总成立,则正实数x的取值范围是____________.
1楼是理科的.

是看了你的答案去凑的
由$4ab=2a+b+4\ge 2\sqrt{2ab}+4$,解得$ab\ge 2$
所以当 $x\ge1时$$(2a+b)x^2+abx-6=(4ab-4)x^2+abx-6=ab(4x^2+x)-4x^2-6\ge 2(4x^2+1)-4x^2-6=4x^2-4\ge 0$
当$0<x<1$时，令$ab=2$,此时$(2a+b)x^2+abx-6=4x^2+2x-6<0$
所以$x\ge1$.

游客

2a+b=4ab-4 代入不等式，把ab看成整体，不等式左边就是一射线。（文科题）

敬畏数学

回复 3# 游客
昨天就碰到此题，此解法