来自某教师群的$y=x^2,x\in[0,1]$到$y=ax+b$最大距最小值

kuing

四川广安任桐明(1191******) 12:30:44

哪位高手帮忙看看

解：$y=x^2$, $x\in[0,1]$ 上的三点 $(0,0)$, $(1,1)$, $(1/2,1/4)$ 到直线 $y=ax+b$ 的距离分别为
\[\frac{\abs b}{\sqrt{a^2+1}}, \frac{\abs{a-1+b}}{\sqrt{a^2+1}}, \frac{\abs{2a-1+4b}}{4\sqrt{a^2+1}},\]
依题意，$H(a,b)$ 不小于以上三者，于是
\begin{align*}
32H(a,b)^2&=10H(a,b)^2+6H(a,b)^2+16H(a,b)^2 \\
& \geqslant \frac{10b^2+6(a-1+b)^2+(2a-1+4b)^2}{a^2+1},  
\end{align*}
因为
\[10b^2+6(a-1+b)^2+(2a-1+4b)^2-\frac{a^2+1}4=\frac{29}8(a-1)^2+\frac18(7a+16b-5)^2,\]
由此得到
\[32H(a,b)^2\geqslant \frac{10b^2+6(a-1+b)^2+(2a-1+4b)^2}{a^2+1}\geqslant \frac14,\]
所以
\[H(a,b)\geqslant \sqrt{\frac1{128}}=\frac{\sqrt2}{16},\]
不难验证当 $a=1$, $b=-1/8$ 时 $H(a,b)=\sqrt2/16$，所以 $H(a,b)$ 的最小值就是 $\sqrt2/16$。

kuing

与之前的套路有点不一样，之前通常都是用绝对值不等式搞定，但这回并不可行，因为分母还有个根号

isee

回复 3# kuing


    能搞定的都是大神，如果直接代，则三个变量，看着就是烦。
   
    TNND，这真是高考模拟题？怕怕。
   

    点$(t,t^2),t\in [0,1],g(t)=\dfrac {\abs{at-t^2+b}}{\sqrt {a^2+1}}$，考察图象（从变换上看），有没出路？






===================05.20.16=======

发现还是回到了：

\[\frac{\abs b}{\sqrt{a^2+1}}, \frac{\abs{a-1+b}}{\sqrt{a^2+1}},\]


然后还一个$g(\frac a2)$与顶楼取值不同。

不过，最终从代数上还是要回到顶楼类似的情形。

游客

连接抛物线两端得直线m，抛物线的切线n与直线m平行，所求直线y=ax+b与m和n都平行，且等距离。




若三点不能等距，则两点等距，另一点在近处。

kuing

回复 5# 游客

嗯，由图象看结果是这么看，所以这题作填空题要秒掉很容易。

敬畏数学

回复 2# kuing
类似：y=|x^2+ax+b|,x∈[-1,1]的最大值得最小值——————？做法

色k

回复  kuing
类似：y=|x^2+ax+b|,x∈[-1,1]的最大值得最小值——————？做法
敬畏数学 发表于 2016-5-20 11:24

这个还用说吗？相对1楼的题来说这个实在太简单了，在《憋间》第5期《几道二次函数与绝对值结合的题目的研究》里第一个例就是这个

敬畏数学

（0,0），（1/2,1/2），（1,1）三个点取得真妙啊！

游客

回复 9# 敬畏数学


    如果函数换成y=a$x^2$，那么中间一个点也是取x=$\frac12$。y'=2ax=a。


若区间换成是[0,$x_0$]，则取y'=2ax=$\frac{ax_0^2}{x_0}$=a$x_0$

敬畏数学

回复 10# 游客
按照管理员的想法，貌似还是1/2，所以这样的题还是没有抓住关键，请指教！

isee

他NND，真难，楼主有简单一些的连接么，我从简单的入手。。。

hjfmhh

kuing能写一下10,6,16这三个系数的来历吗？感觉是待定系数法，但做不出来谢谢

游客

灌滴水

isee

灌滴水
游客 发表于 2016-6-3 10:47

    这个写法比kuing的平易近人些。

hjfmhh

回复 14# isee

kuing的解法如果知道取等条件a=1,b=-1/8是可以理解的，在不知道取等条件下就不好处理，不知道怎么配系数10,6,16

isee

回复 15# hjfmhh


    这个就是经验，也是天份，不是每个人都是kuing

isee

忽然感觉把这段抛物线看成包络，不知道此方向可否

郝酒

很好奇此题的出处，感觉很像是和自己一样恶趣味的人编的题目：）

aipotuo

纯粹猜的话: $y=ax+b$是两端点所在直线与斜率为1的切线的中间那条直线.