转：某群数列放缩题

realnumber

realnumber

1.用数学归纳法
2.不会.罗列一些性质,也许会有帮助.
可以证明递增，以及
$a_{n+1}-a_n<0.5$,进一步可得$a_{n+1}< 2+0.5n$
n用n-1替换，再2个等式相减,可得
$a_{n+1}-a_n\ge a_n-a_{n-1}$,由$a_2-a_1>0.3$进一步可得$a_n\ge 2+0.3(n-1)$

djjtyq

由$a_{k+1}\geq \dfrac{k+8}{4}，$得\[a_{k+1}^2-a_k^2=a_{k+1}-1\geq \dfrac{k+4}{4}，\]两边求和有\[\sum_{k=1}^{n-1}(a_{k+1}^2-a_k^2)\geq \sum_{k=1}^{n-1}\left ( \dfrac{k+4}{4} \right )，\]即\[a_n^2-a_1^2\geq \dfrac{n^2+7n-8}{8}\Longrightarrow a_n^2\geq \dfrac{n^2+7n+24}{8}，\]则\[\dfrac{1}{2a_n^2-3}\leq \dfrac{4}{n^2+7n+12}=4\left ( \dfrac{1}{n+3}-\dfrac{1}{n+4} \right ).\]

realnumber

回复 3# djjtyq


    明白了