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isee
Posted 2016-5-25 14:31
Last edited by isee 2016-5-25 17:14回复 1# lrh2006
如图，在$Rt \triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ},AC=8,BC=6$，点$D$为$AB$的中点。动点$P$沿$AC$，从$A$到$C$，速度每秒1个单位，同时点$Q$沿$CB$，$BA$，从$C$到$B$再到$A$，速度每秒2个单位。以$DP$，$DQ$为邻边构造平行四边形$PEQD$，设点$P$运动的时间为$t$秒。
（1）略；（2）略。
（3）连接$CD$，当点$E$恰好落在$\triangle ACD$边上时，求所有满足要求的$t$值；若记运动过程中平行四边形$PEQD$的面积为$S$，平行四边形$PEQD$与$\triangle ACD$的重叠部分面积为$S_1$，当$\dfrac {S_1}S<\dfrac 13$时，$t$的取值范围是_________.
以C为坐标原点，CB所有的直线为x轴，建立如图直角坐标系。
于是$P(0,8-t),Q(2t,0),D(3,4)$，由平行四边形$PEDQ$：
$$0\leqslant t \leqslant 3,E(2t-3,4-t),$$
这意味着点$E$在直线$x+2y-5=0,x\in[-3,3]$上运动。
此时，容易求得，E在AC上时，$t_1=\dfrac {3}{2}$秒；则$E$亦在$CD:y=\dfrac 43x$上时，$t_2=\dfrac {24}{11}$秒.
下面来看重叠面积，依题，当$0\leqslant t \leqslant \dfrac {24}{11}$时，
重合部分$S_1\geqslant \dfrac 12S$（提示：可利用平行等积），不必考虑。
当$\dfrac {24}{11} < t \leqslant 3$时，考虑$S_1:S_{\triangle DPE}<2:3S$，记$CD$交$PE$于$F$（为$PE$内分点)，
求得此内分点为$F\left(\dfrac {(9-6t)(t-8)}{8t},\dfrac {(12-8t)(t-8)}{8t}\right)$。
从而由$x_F：x_E<2:3$得到：$\dfrac {72}{25}<t \leqslant 3$。
同样的，当点$Q$在$BA$上时，即$$3<t \leqslant 8,E\left(\dfrac {33-6t}5,\dfrac {4-3t}5\right),$$
点E依然在直线$x+2y-5=0,x\in[-3,3]$上运动（注意此时$t$不同），下略。 |
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