来自人教群的正三角形外接圆三内切等圆切线长关系

kuing

豫F爱好者海阔天空(2154*****)  20:18:41
请教一题




证明，如图，设大圆和小圆半径分别为 $R$, $r$，由斯特瓦尔特定理，有
\[PD^2+r^2=PO_1^2=\frac{PA^2(R-r)+R^2r}R-r(R-r),\]
化简即得
\[\frac{PD^2}{PA^2}=\frac{R-r}R,\]
同理有另外两式，即得
\[PD:PE:PF=PA:PB:PC,\]
所以等价于证 $PB=PA+PC$，这是熟知的。

PS、中间那式子不知有没有更简单的证法

kuing

PS2、如无意外，如果是外切的话，就是 $\frac{PD^2}{PA^2}=\frac{R+r}R$，所以原题改成外切也是成立的

游客

建坐标系用三角函数做是代数法（易），几何要巧妙最好弄个旋转变化（难）。