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kuing
Posted 2016-5-30 23:16
真难，搞了我一个多小时……
首先记 $r_n=a_n^2+b_n^2$，递推式即
\begin{align*}
a_{n+1}&=2+\frac{3a_n}{r_n}, \\
b_{n+1}&=-\frac{3b_n}{r_n},
\end{align*}
平方相加得
\[r_{n+1}=4+\frac{12a_n}{r_n}+\frac9{r_n},\quad(*)\]
将第一条递推关系写成
\[r_{n+1}\cdot \frac{12a_{n+1}}{r_{n+1}}=24+3\cdot \frac{12a_n}{r_n},\]
将式 (*) 代入得
\[r_{n+1}\left( r_{n+2}-4-\frac9{r_{n+1}} \right)=24+3\left( r_{n+1}-4-\frac9{r_n} \right),\]
去分母整理为
\[r_nr_{n+1}r_{n+2}=7r_nr_{n+1}+21r_n-27,\]
再令 $r_n=p_{n+1}/p_n$，且 $p_1=1$，代入后即
\[p_{n+3}=7p_{n+2}+21p_{n+1}-27p_n,\]
（终于化出了熟悉的东西！）经计算知 $r_1=5$, $r_2=41/5$，即 $p_2=5$, $p_3=41$，而特征方程刚好可以分解
\[x^3=7x^2+21x-27\iff (x-1)(x-9)(x+3)=0,\]
最终可解出
\[p_n=\frac{1+9^{n-1}}2\riff r_n=\frac{1+9^n}{1+9^{n-1}},\]
代回式 (*) 即可解出
\[a_n=\frac{3\cdot 9^{n-1}-1}{9^{n-1}+1}.\] |
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realnumber
Posted 2016-5-30 23:37
,犀利，瞬秒了
585果然是数列党