2016_6_2数列，不许用数学归纳法

realnumber

$S_n$ 是 $\an$ 的前n项和，$a_1=2,a_2=7,a_n=3a_{n-1}+2a_{n-2},n\inN^+,n\ge3$.
(1)求证：$a_{2017}$为奇数.
(2)求证：$4S_n+3<\frac{17}{3}a_n.(n\ge 2,n\inN)$
(3)求证：$\abs{a_{n+1}-\frac{a_n^2}{a_{n-1}}}\le \frac{1}{2}$

realnumber

(1)由已知条件,又$S_n-S_{n-1}=a_n,n\ge 2$.
\[S_n=4S_{n-1}-S_{n-2}+2S_{n-3}\]
此式说明$n\ge 4$时，$S_n$与$S_{n-2}$同为奇数或同为偶数.如此，进一步计算$S_1,S_2,S_3$
可得$S_2,S_4,\cdots,S_{2016}$都为奇数,$S_1,S_3,S_5,S_7,\cdots ,S_{2017}$都为偶数.
所以$a_{2017}=S_{2017}-S_{2016}$为奇数.
同事胡老师的办法：$a_n-a_{n-1}=2(a_{n-1}+a_{n-2})$
\[a_{2017}=(a_{2017}-a_{2016})+\cdots +(a_3-a_2)+a_2\]
\[a_{2017}=2(a_{2016}+a_{2015})+\cdots +2(a_2+a_1)+a_2\]
即$a_{2017}$与$a_2$同为奇数或偶数,由已知$a_2=7$，所以$a_{2017}$为奇数.

realnumber

(2)(3)同事胡老师的办法：
(2)由数列递推公式，以及$a_1,a_2$,可得数列为正项递增数列.且$a_n>3a_{n-1}$.
又由解答(1)中处理办法
\[a_n-a_2=2a_{n-1}+4(a_{n-2}+a_{n-3}+\cdots +a_2)+2a_1\]
\[即5a_n+2a_{n-1}=4S_n+3<5a_n+\frac{2a_n}{3}\].
(3)
\[\abs{a_{n+2}-\frac{a_{n+1}^2}{a_n}}=\abs{\frac{a_{n+1}(3a_n-a_{n+1})+2a_n^2}{a_n}}= \abs{\frac{a_{n+1}(-2a_{n-1})+2a_n^2}{a_n}}\]
\[\abs{a_{n+1}-\frac{a_{n}^2}{a_{n-1}}}=\abs{\frac{a_{n+1}(-2a_{n-1})+a_n^2}{a_{n-1}}}\]
所以
\[\frac{\abs{a_{n+2}-\frac{a_{n+1}^2}{a_n}}}{\abs{a_{n+1}-\frac{a_{n}^2}{a_{n-1}}}}=\abs{\frac{a_{n-1}}{a_n}}<1\]
再计算下$\abs{a_{3}-\frac{a_{2}^2}{a_{1}}}$就可以了
完.

Tesla35

是很久一道老题的反问题。

色k

回复 4# Tesla35

啥叫反问题？

Tesla35

回复 5# 色k

就是已知条件和结论换了顺序。只能手机查看论坛，上传不了图片。