来自人教群的最小值的最小值

kuing

【渣^6】鄂L教师yuzi(5755*****)  14:18:30

设在 $x=b$ 处取得最小值 $a$，则必有 $f'(b)=0$ 且 $f(b)=a$，即
\[\led
\frac{\ln b-1}{b^2}+ae^{ab-1}&=0,\\
-\frac{\ln b}b+e^{ab-1}&=a,
\endled\]
后者两边乘 $a$ 再相减得
\[-\frac{a\ln b}{b}-\frac{\ln b-1}{b^2}=a^2,\]
去分母并因式分解得
\[(ab+1)(ab+\ln b-1)=0.\]

（1）若 $ab=-1$，代回 $f(b)=a$ 化简得
\[a+a\ln(-a)=e^{-2},\]
令 $g(a)=a+a\ln(-a)$，则 $g'(a)=2+\ln(-a)$，从而 $g(a)_{\max}=g(-e^{-2})=e^{-2}$，由此可见 $g(a)=e^{-2}$ 的唯一解为$a=-e^{-2}$；

（2）若 $ab=1-\ln b$，则
\[a=\frac{1-\ln b}b=h(b),\]
求导得 $h'(b)=(\ln b-2)/b^2$，所以 $h(b)_{\min}=h(e^2)=-e^{-2}$。

综合（1）（2）知恒有 $a\geqslant -e^{-2}$。

最后验证当 $a=-e^{-2}$ 时符合题意，由上述过程已经知道当 $a=-e^{-2}$ 时 $f(e^2)=-e^{-2}$，所以我们只需证明此时恒有 $f(x)\geqslant -e^{-2}$ 即可，即证
\[-\frac{\ln x}{x}+e^{-e^{-2}x-1}\geqslant -e^{-2},\]
令 $x=e^2u$，代入化简等价于
\[k(u)=u-2-\ln u+ue^{-u+1}\geqslant 0,\]
求导化简得
\[k'(u)=\frac{(u-1)(e^{u-1}-u)}{ue^{u-1}},\]
显然 $e^{u-1}\geqslant u$，由此可见 $k(u)_{\min}=k(1)=0$，不等式成立，因此 $a=-e^{-2}$ 是符合题意的。

综上所述，$a$ 的最小值为 $-e^{-2}$。

yuzi

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