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isee
Posted 2016-6-8 14:56
Last edited by isee 2016-6-8 22:52先看第一问，走两步看看，先。
$f(1)=-e<0,f(2)=a.$
还是退，若$a=0,$
$f(x)=(x-2)e^x=0\Rightarrow x=2,$且是惟一零点，与题不符.
不过，注意到$f'(x)=e^x(x-1)=0,x=1$，
此时，$f(x)$在$(-\infty,1)$减，在$(1,+\infty)$增，而$f(x)_{\min}=f(1)=-e<0$。
从而$x\in (-\infty,1),f(x)=e^x(x-2)\in(-e,0)$，就意味着$x\rightarrow -\infty,f(x)=(x-2)e^x\rightarrow 0$.
当$a>0$时，$f(1)=-e<0,f(2)=a>0.$
且$f(x)$在$(-\infty,1)$减，在$(1,+\infty)$增.
$x\rightarrow -\infty,f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)^2\rightarrow +\infty$.
据零点定理，此时有两个零点，即有$a>0$.
当$a<0$时，$f'(x)=(e^x+2a)(x-1)=0\Rightarrow x_1=1,x_2=\ln (-2a),$此时麻烦多了.
$a<-\dfrac e2$，$f(x)$在$(-\infty,1)$增，$(1,\ln(-2a))$减，$(\ln(-2a),+\infty)$增.
极大值为$f(1)=-e<0$，与题有两个零点矛盾，舍弃.
同样的，容易得$a=-\dfrac e2$亦不舍题设.
$-\dfrac e2<a<0$，$f(x)$在$(-\infty,\ln(-2a))$增，$(\ln(-2a)),1)$减，$(1,+\infty)$增.
极大值为$f(\ln(-2a))=-a\ln^2(-2a)-4a\ln(-2a)+5a=a(\ln^2(-2a)-4\ln(-2a)+5)$.
MOMO，$g(x)=x^2-4x+5,x<1$，得看这个函数的符号了，不过，运气不错，显然$g(x)>0$恒成立，即$-\dfrac e2<a<0$时，其极大值依然是小于零的，搞定，不合题，舍.
综上，$\color{red}{(1).a>0}$. |
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