2016年 江苏卷 第14题 （$\tan A\tan B \tan C$的最小值）

isee

三角函数，也是几何。



在锐角三角形$ABC$中，若$\sin A=2\sin B\sin C,$则$\tan A\tan B \tan C$的最小值是___

realnumber

几何怎么做啊？isee
由已知得$\tan B+\tan C=2\tan B \tan C =2x ,\tan A>0,得x >1,x-1=t$.
$\tan A \tan B \tan C=\frac{2x^2}{x-1}=2(2+t+\frac{1}{t})^2\ge 8$,
当且仅当$t=1,x=2,\tan A=4,\tan B \tan C 其中一个为2-\sqrt{2},另一个为2+\sqrt{2}$.

游客

isee

几何怎么做啊？isee
由已知得$\tan B+\tan C=2\tan B \tan C =2x ,\tan A>0,得x >1,x-1=t$.
$\tan A \tan B ...
realnumber 发表于 2016-6-9 08:35

    刚算完，大同小异，用了三积等三和。手机中。平几还来知

isee

回复 4# isee

此题还是难的，补一个过程

得到`\tan B+\tan C=2\tan B\tan C`后，在三角形中，由恒等式`\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C`，于是所求可化为\[M=\tan A\tan B\tan C＝\tan A+\tan B+\tan C＝\tan A+2\tan B\tan C\geqslant 2\sqrt{2M},\]即`M\geqslant 8`.