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Last edited by 乌贼 2016-6-9 18:0321
(1) 讨论函数$f(x)=\dfrac{x-2}{x+2}e^x$的单调性，并证明当$x>0$时，$(x-2)e^x+x+2>0$；
(2) 证明：$a\in[0,1)$时，函数$g(x)=\dfrac{e^x-ax-a}{x^2}(x>0)$有最小值。设$g(x)$的最小值为$h(a)$，求函数$h(a)$的值域。
(1)\[f'(x)=\dfrac{x^2}{(x+2)^2}e^x\ge0\]所以函数$f(x)$在$(-\infty,-2),(-2,\infty)$上单增有，当$x>0$时\[f(x)>f(0)=-1(x>0)\riff\\(x-2)e^x+x+2>0\]
(2)\[g'(x)=\dfrac{(x-2)e^x+ax+2a}{x^3}\]令\[k(x)=(x-2)e^x+ax+2a\\k'(x)=(x-1)e^x+a\\k''(x)=xe^x\]当$x\ge0$时，$k''(x)\ge0$有函数$k'(x)$在$[0,\infty)$上单增，又$k'(0)=a-1<0,k'(1)=a\ge0$知函数$k'(x)$在区间$[0,\infty)$上有唯一零点$x_0(0<x_0\le1)$。得函数$k(x)$在区间$[0,x_0)$上递减，在区间$(x_0,\infty)$上递增，由\[k(0)=2a-2<0\riff k(x_0)<0,k(2)=4a\ge0\]得函数$k(x)$在区间$[0,\infty)$上有唯一零点$x_1(0<x_0<x_1\le2)$。即函数$k(x)$在区间$(0,x_1)$上恒为负数，在区间$(x_1,\infty)$上恒为正数，一样的函数$g'(x)$在区间$(0,x_1)$上恒为负数，在区间$(x_1,\infty)$上恒为正数且$g'(x_1)=0$，所以单$a\in[0,1)$时，函数$g(x)$在$(0,x_1)$上递减，在$(x_1,\infty)$上递增，在$x_1$处有最小值$g(x_1)$
由\[k(x)=(x-2)e^x+ax+2a=0\riff a=\dfrac{(2-x)e^x}{x+2}\]设\[j(x)=\dfrac{(2-x)e^x}{x+2}\\j'(x)=\dfrac{(2-x)e^x}{x+2}\ge0,(0<x\le2)\]即区间$(0,2]是$函数$j(x)$的单调区间。由\[h(a)=g(x_1)=\dfrac{e^{x_1}-ax_1-a}{x_1^2}=\dfrac{e^{x_1}-x_1\dfrac{(2-x_1)e^x}{x_1+2}-\dfrac{(2-x_1)e^x}{x_1+2}}{x_1^2}=\dfrac{e^{x_1}}{x_1+2}\]其中$(0<x_1\le2)$\[g'(x_1)=\dfrac{(x_1+1)e^{x_1}}{(x_1+2)^2}>0,(0\le x_1\le2)\]因此函数$g(x_1)$在区间$[0,2]$上单增有\[\dfrac12=g(0)<h(a)\le g(2)=\dfrac{e^2}4\] |
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isee
Posted 2016-6-9 23:54
