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Last edited by realnumber 2016-6-10 15:22恩，
1）换元$x=t-\frac{a}{3}$,这样消去方程的2次项,而最大最小根的差不变.
方程不妨记为$t^3-mt+n=0，-m=b-\frac{a^2}{3},n=c-\frac{a^3}{27}-\frac{ab}{3}$.
n的范围可求函数的极值得到.
由图像可猜$x_3-x_1$的范围为[$\sqrt{3m}$,$2\sqrt{m}$],理由似乎又要写一堆，
水平线$y=y_0,y_0\ge 0$与$y=t^3+mt$的相交线段长度变化与$y_0$的关系，未完成.
按 游客 提示的方法是这样的 设三个根依次为$t_1\le t_2\le t_3$,
$t_1+t_2+t_3=0,t_1t_2+t_2t_3+t_1t_3=-m,t_1t_2t_3=-n$,消去$t_2$
得到$m=(t_1-t_3)^2+t_1t_3,n^2=(m-(t_1-t_3)^2)((t_1-t_2)^2+4t_1t_3)$,在消去$t_1t_3$
....,计算有些复杂,等高手.
2）a+b+c=-a,ab+bc+ca=b,abc=-c.
当c=0时,解得“a=b=c=0”或“c=0,a=-1,b=2”.
当c≠0时,得到$b^4-b^3-2b^2+4=0$,无解.
-------- $b\le 0$,因为$b^4-2b^2+4>0,-b^3\ge 0$.
-------- $0\le b\le3$,$b^4+b^4+b^4+1\ge 4b^3,b^4-8b^2+15=(b^2-3)(b^2-5)>0$.
--------$b\ge 3$,$b^4-b^3-2b^2+4\ge 3b^3-b^3-2b^2+4=2b^3-2b^2+4$
--------------------$2b^3-2b^2+4\ge 6b^2-2b^2+4>0$
-----2)的c≠0时。可能计算有错，...暂时没动力来修改. |
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