2016年理科 浙江卷 第16题 偶被坑的三角

isee

觉得如果用$\angle C$的话，会出现3倍的角，自动避开了，结果，还是被坑了。



在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$. 已知$b+c=2a \cos B$.
（I）证明：$A=2B$；
（II）若$\triangle ABC$的面积为$\frac {a^2}4$ ，求角A的大小.

isee

(1)   $b+c=2a \cos B\Rightarrow \sin B=\sin (A-B)\Rightarrow A=2B.$



(2)由正弦定理：
$$\frac b{\sin B}=\frac a{\sin A}=\frac a{\sin 2B}=\frac a{2\sin B\cos B}\Rightarrow \cos B=\frac a{2b}\tag{01}\label{e01}$$

再由余弦定理：

$$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \frac a{2b}\Rightarrow (b-c)(b^2+bc-a^2)=0.$$

若$b=c$，求得$A=2\cdot \frac {\mathrm{\pi}}4=\frac {\mathrm{\pi}}2.$

若$b\ne c$，则$\color{red}{b^2+bc=a^2}$，另一方面$$\frac 12ac \sin B=\frac {a^2}4\Rightarrow \sin B=\frac a{2c}.\tag{02}\label{e02}$$

由$\eqref{e01}^2+\eqref{e02}^2$得到$$\frac {a^2}{c^2}+\frac {a^2}{b^2}=4\Rightarrow \frac {b^2}{c^2}+\frac bc+1+\frac cb=4.$$

记$\dfrac bc=t$化简整理得到$$(t-1)(t^2+2t-1)=0\Rightarrow \frac bc=\sqrt 2-1.$$


由$\eqref{e02}/\eqref{e01}$有$$\tan B=b/c=\sqrt 2-1\Rightarrow \tan A=\frac {2\tan B}{1-\tan^2B}=1.$$

故$A=\frac {\mathrm{\pi}}4.$

综上，角A为90度或45度。




看，以上过程，偶被坑得多厉害~~

标答，从大角C入手，转成角，简单多了。

游客

参考答案的最后讨论部分有点怪怪的。