2016年理科 四川卷 第21题 导数压轴$f(x)>\frac 1x-e^{1-x}$

isee

听说很难，发来大家“玩玩”



设函数$f(x)=ax^2-a-\ln x$，其中$a\in \mathbf{R}$
（1）讨论$f(x)$的单调性；
（2）确定 $a$ 的所有可能取值，使得$f(x)>\dfrac 1x-e^{1-x}$在区间$(1,+\infty)$内恒成立（ e 为自然对数的底数）.

isee

好象是个纸老虎
游客 发表于 2016-6-11 15:50

2016四川高考数学压轴题 顶级高手要花30分钟
四川在线-华西都市报    06-10

　　6月7日下午5点，2016高考数学考试结束，压轴题曝光。众所周知高考数学题往往都是最后一道题是拉开差距的，据参加高考的文科考生介绍，今年的最后一道考题是考察倒数，含参数的不等式。一位高三数学老师表示，这套文科题有区分度，最后一道题还涉及到大学数学知识，这也是起到了高中和大学衔接的功能。据他介绍，即使是顶级高手，要完成这道题并且保证做对，至少需要30分钟时间。

原标题：2016四川高考文科数学压轴题曝光：顶级高手要花30分钟
   

原来我搞串了，我再发个文科的。。。。

isee

原来，文科是三问，实质与理科相同。

陈习晖

提取参数a，形成a大于某函数形式，再对某函数进行放缩，得出a》1/2.不知道答案对不对

isee

提取参数a，形成a大于某函数形式，再对某函数进行放缩，得出a》1/2.不知道答案对不对 ...
陈习晖 发表于 2016-6-15 17:34

    结果正确，原闻其详

战巡

回复 1# isee


感觉不算特别难啊

首先保证必要条件，必须有$\frac{d}{dx}[f(x)-\frac{1}{x}+e^{1-x}]_{x=1}\ge 0$，否则由于无论$a$是什么都有$f(1)-\frac{1}{1}+e^{1-1}=0$，必然存在$x_0>1$使得任意元素$x\in (1,x_0)$使得$f(x)-\frac{1}{x}+e^{1-x}<0$
于是
\[\frac{d}{dx}[f(x)-\frac{1}{x}+e^{1-x}]_{x=1}=2a-1\ge0\]
\[a\ge \frac{1}{2}\]

接下来是证明对这个区间任意$a$都成立
考虑函数
\[g(x)=\ln(x)+\frac{1}{x}-e^{1-x}\]
\[g'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+e^{1-x}\]
显然对于$x>1$来说有$g'(x)>0$，问题在于上限
方便起见做换元$y=\frac{1}{x}$，有
\[g'(x)=h(y)=y-y^2+e^{1-\frac{1}{y}}\]
易证
\[1-\frac{1}{y}\le -\ln(\frac{1}{y})=\ln(y)\]
\[e^{1-\frac{1}{y}}\le y\]
而后
\[g'(x)=h(y)\le 2y-y^2\le 1\]
且显然$\frac{1}{x}=y=1$时取等

另一方面，显然当$a\ge \frac{1}{2},x\ge 1$时
\[\frac{d}{dx}(ax^2-a)\ge 1\]
因此此时只要$a\ge \frac{1}{2}$，就有
\[\frac{d}{dx}[f(x)-\frac{1}{x}+e^{1-x}]=\frac{d}{dx}(ax^2-a)-g'(x)\ge 0\]
剩下应该不用再说

陈习晖

这样做可以吗？

敬畏数学

回复 6# 战巡

敬畏数学

回复 7# 陈习晖
显然，请教？

敬畏数学

想了想，觉得以上解法还是有些勉强啊！大题吗，需要严谨些。。。。标答还是可以接受的。

陈习晖

应该是易证

敬畏数学

有高手其他解法吗？目前只能COPY答案啊。。。。

第一章

（2）解：记$g(x)=a(x^2-1)-\ln x-\frac{1}{x}+e^{1-x}$，$x>1$，
$g’(x)=2ax-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-e^{1-x}$，
由于$g(1)=0$，则$g(x)>0$恒成立的必要条件是$g’(1)\ge0$，即$a\ge\frac{1}{2}$；
下证$a\ge\frac{1}{2}$能使$g(x)>0$恒成立：
尝试一、把指数、对数都用切线替换掉：$\ln x\le x-1$以及$e^{1-x}\ge -x+2$，
$g(x)=a(x^2-1)-\ln x-\frac{1}{x}+e^{1-x}\ge\frac{1}{2}(x^2-1)-\ln x-\frac{1}{x}+e^{1-x}$
$\ge\frac{1}{2}(x^2-1)-(x-1)-\frac{1}{x}+(-x+2)$
$=(x-1)^2(\frac{1}{2}-\frac{1}{x})$，不能获证；
尝试二、出于求导之后考虑，只把指数用切线替换掉：$e^{1-x}\ge -x+2$，
$g(x)=a(x^2-1)-\ln x-\frac{1}{x}+e^{1-x}\ge\frac{1}{2}(x^2-1)-\ln x-\frac{1}{x}+e^{1-x}$
$\ge\frac{1}{2}(x^2-1)-\ln x-\frac{1}{x}+(-x+2)$，
最后这个函数的导数$y’=\frac{(x-1)^2(x+1)}{x}\ge0$，单调递增，$y>y|_{x=1}=0$，获证。

敬畏数学

回复 13# 第一章

没有看懂。。。

第一章

回复 14# 敬畏数学

必要写成充分

敬畏数学

[b]回复 15# 第一章 [/
还是头晕啊！谢谢。、、、

敬畏数学

6#基本OK!但这句话“否则由于无论aa是什么都有f(1)−11+e1−1=0f(1)−11+e1−1=0，必然存在x0>1x0>1使得任意元素x∈(1,x0)x∈(1,x0)使得f(x)−1x+e1−x<0f(x)−1x+e1−x<0“稍微有些勉强啊。