2016年浙江理数14题

word3000

14. 如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是     .

乌贼

回复 1# word3000
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这个帖有讨论，硬算。

kuing

相当于在 $AC$ 上取点 $D$ 然后折起 $ABD$ 到 $PBD$，显然最大时必然 $PBD \perp ABC$，
设 $\angle ABD=\theta$，则垂直时的高（即 $P$ 到 $BD$ 的距离）为 $2\sin\theta$，由正弦定理得 $BD=1/\sin(30\du+\theta)$，
所以底 $BCD$ 的面积为
\[\S{BCD}=\frac12BC\cdot BD\sin(120\du-\theta)=\frac{\sin(60\du+\theta)}{\sin(30\du+\theta)},\]
那么
\[V=\frac{2\sin\theta\sin(60\du+\theta)}{3\sin(30\du+\theta)}
=\frac{\cos60\du-\cos(60\du+2\theta)}{3\sin(30\du+\theta)}
=\frac{\frac12-1+2\sin^2(30\du+\theta)}{3\sin(30\du+\theta)}
=\frac{2\sin(30\du+\theta)}3-\frac1{6\sin(30\du+\theta)},\]
所以当 $\theta=60\du$ 时最大体积为 $1/2$。

kuing

改了一下，刚才计算底面积太逗了……

word3000

谢谢大家，我感觉这个论坛很好的。都很热心、积极。希望本论坛人气越来越旺。

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