2016年广州中考数学第25题（圆压轴）及推广 一般结论

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昨天人教群有讨论2016年广州中考压轴题的。

今天见到的原卷，如下图。

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第（1）问略，由此可知三角形ABD是等腰直角三角形。

第（2）问，用战巡的话说：托勒密定理瞬间秒了。
不用Ptolemy定理，用旋转也是常见的。
也略。

对第（3）问有点兴趣。

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第（3）问，将三角形MAD绕点A顺时针旋转90度（这个旋转90度，实质上是可以证明余弦定理的，所以硬算肯定可以搞定），得到三角形M'AB。

连接MM’，则$\angle AMM'=45^{\circ}$，从而$\angle BMM'=90^{\circ}$。

于是$$BM^2+MM'^2=BM'^2\Rightarrow BM^2+2AM^2=DM^2.$$

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这第（3）问，已然与圆关系不大，实在四边形AMBD中对角互余罢了。

kuing

这样的中考题才比较好看，比那些抛物线三角形圆什么乱七八zao硬扯起来又长又臭的中考题好多了。

我们不妨将 $\triangle ABD$ 对称过去，也是一样的，相当于探究 $CA^2$, $CB^2$, $CE^2$ 的关系，如图。



由中线长公式及勾股定理得
\[4CA^2=2CE^2+2CD^2-DE^2=2CE^2+2(BD^2-CB^2)-\bigl(\sqrt2BD\bigr)^2=2CE^2-2CB^2,\]
所以
\[CE^2=2CA^2+CB^2.\]

isee

这样的中考题才比较好看，比那些抛物线和三角形什么乱七八zao硬扯起来又长又臭的中考题好多了。

我们不妨 ...
kuing 发表于 2016-6-19 14:20

    接4楼，呐，原来的题：forum.php?mod=viewthread&tid=2858&highlight=线段

isee

四边形中，对角互余有更一般的结论（记不住，看到过，当年没证出来，至少一眼是看不到头的），这当属竞赛题了。

abababa

回复 7# isee
是不是这个题？

kuing

回复 7# isee

边不自交的四边形 $ABCD$ 中，按顺序的四边边长分别是 $a$, $b$, $c$, $d$，两对角线长为 $e$, $f$，则
\[e^2f^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcd\cos(A+C).\]

abababa

回复 9# kuing

嗯，这个结论图形更一般，开始我见到这题觉得很像托勒密定理。

isee

果然有一般情况。。。。。

isee

回复  isee
是不是这个题？
abababa 发表于 2016-6-19 14:42

    这个证明很自然（估计下回能自己仿出证明了，）连证明过程都真像托勒密定理

isee

回复  isee

边不自交的四边形 $ABCD$ 中，按顺序的四边边长分别是 $a$, $b$, $c$, $d$，两对角线长为 $e$ ...
kuing 发表于 2016-6-19 14:49

几何瑰宝 下册 21-22页的一种代数证明：