再探数列$x_n+\frac{1}{x_{n+1}}<2$

zhcosin

前几天人教群里有人讨论下面这个题目：
各项均为正实数的数列$x_n$对任何正整数$n$都成立$x_n+\frac{1}{x_{n+1}}<2$，求证所有项都满足 $1-\frac{1}{n}<x_n<1$

======= 这里是传说中的分割线 ==================
左边不等式利用归纳法即可，这里主要是右边的证明。
如果用上极限理论，则可以很容易的得出它单调增加并以1为极限，结论不证自明，所以这里主要讨论的是初等证明。
因为
$$
x_n+\frac{1}{x_{n+1}}<2 \leqslant
x_{n+1}+\frac{1}{x_{n+1}}
$$
所以$x_n<x_{n+1}$，即该数列单调增加。
又显然$x_n<2$，所以
$$
2>x_n+\frac{1}{x_{n+1}}>x_n+\frac{1}{2}
$$
于是$x_n<2-\frac{1}{2}$，我们得到一个更加好的上限，重复这个过程，我们由$x_n<y_m$就可以得到
$$
x_n<2-\frac{1}{y_m}
$$
所以我们作数列$y_m$，它由$y_1=2$和
$$
y_{m+1}=2-\frac{1}{y_m}
$$
来确定。
数列$y_m$的每一项都大过数列$x_n$的全部项，所以它的下标特意用$m$而不是$n$来表示，以示不相关。
现在来求$y_m$的通项（分式型递推数列的不动点玩法），由于
$$
\frac{1}{y_{m+1}-1}=1+\frac{1}{y_{m}-1}
$$
因此数列$\frac{1}{y_m-1}$是等差数列，如果把下标从1开始，则它的通项为$y_m=1+\frac{1}{m}$。
现在由于$x_n<y_m$对一切正整数$n$和$m$都成立，所以自然有$x_n\leqslant 1$（反证法轻松搞定），而$x_n$的单调性保证了等号是不能取的。

zhcosin

而且利用这个思路，上面那个题目应该也可以撸出来，但要利用下面这个不等式($0<x<1$):
$$
1+x<e^x<1+x+x^2<\frac{1}{1-x}
$$

游客

isee

太难了，一时无从适应，嘿嘿

f(x)

回复 3# 游客
第二段搞什么鬼

isee

论坛有个类似的帖子

forum.php?mod=viewthread&tid=2750

Tesla35

回复 6# isee
撸题集里已经有了
。最近开始搞各种数列相关题目

isee

回复 7# Tesla35


    新课到这，复习也差不多是，so........

色k

回复  isee
撸题集里已经有了
。最近开始搞各种数列相关题目
Tesla35 发表于 2016-8-15 21:42