空间角内点

三尺水

P 是空间固定点，过 P 的平面与三个轴交点ABC。求：

• 三角形ABC有最小面积时；
• 三角形 ABC 有最小周长时；
• 四面体 OABC 有最小体积时；
• 四面体 OABC 有最小表面积时；

P 在三角形 ABC 的什么心

可以确定，P 是三角形重心时候，四面体体积最小了

hbghlyj

$x$-、$y$- 和 $z$- 轴的截距分别为 $a$、$b$ 和 $c$ 的平面为$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$
四面体的体积为 $\frac{abc}{6}.$
利用 AM-GM 不等式
$$\frac13=\frac{\frac{x_P}{a} + \frac{y_P}{b} + \frac{z_p}{c}}3\ge\sqrt[3]{\frac{x_P}{a} \cdot \frac{y_P}{b} \cdot \frac{z_P}{c}}$$
因此，四面体的体积最小时 $\frac{x_P}{a} = \frac{y_P}{b} = \frac{z_P}{c} =\frac13$，P 在 △ABC 的重心