曲面问题

三尺水

假设地球密度均匀。加快地球角速度W，让地球依次成为橘子，饼子，甜甜圈。求这橘子形状与甜甜圈形状的曲面方程。
注：只考虑地球上各个质点的万有引力与离心力。万有引力貌似只有球形才能用质心，其他形状无法简化。
我想到一个力学方法来解这个旋转面，可是最后方程太吓人，根本没法求解。看大家能想到什么能量或势能方法，最后能数值求解画出旋转线就行。势能最小的方法似乎也简化不了方程……

战巡

回复 1# 三尺水


这种问题没有意义

地球属于类地行星，普遍密度大，近似正球，一般直接视为刚体，转起来各处角速度严格相等

然而如果你硬要搞成各处只有引力提供向心力，那对不起，你这个不可能是刚体，必须较差自转
否则，不管你扁成啥样，只要不是完全扁平的，就能定义纬度，而不同纬度角速一样，半径却不同，你这玩意就得低纬度抛出，高纬度坍缩，最终一部分解体，另一部分重新压缩成更小的东西，根本不可能稳定

你最多能定义赤道处刚好引力和向心力等同，但其他部分你解决不了，必然会出现速度低于所需，物质坍缩，最终压缩到不能再压，由支撑力来抵消多于的引力
然而这个情况下你就无法去定义其他部分的曲面形状，因为任何包络面不超出以赤道为半径的正球的曲面都满足条件

三尺水

这个曲面肯定存在一个固定的。假想地球是完全液态。没有角速度由于引力塌缩成球体，有加速度就成椭球体，最后是可以成轮胎面的，继续增大角速度就解体了。
知乎上有这个，说一天变成三小时就出现轮胎形状了。只是没有说曲面方程

三尺水

假设地球全部液态水组成。增加角速度，水会往赤道聚集，稳定后肯定有个曲面的

三尺水

回复 2# 战巡
其实也不用要求地球是液体。相对于整体离心力来说，地表就是流动的。只有微观的山脉算固体。所以24小时转一周就导致赤道半径比极半径多20公里

战巡

回复 5# 三尺水


是的，但并不明显，类地行星无论如何都非常接近正球，也都基本视为刚体而非流体，各处自转角速度严格等同

但流体天体不能如此计算，流体天体往往不存在一个统一的角速度，如太阳、木星、土星等，由于热对流等影响，这些玩意使用的是较差自转，其各纬度上自转速度不等，如果不了解相应的流体特性和天体内核的情况，你根本不可能算出来好吧
如果说知乎上有人算出来过，那只能说明那些人把问题过分简化了，忽视了很多潜在的影响因素

三尺水

我就是关心的是简化后的数学曲面