网友问的一道合情推理三角恒等式

kuing

回复 20# abababa

这个解法有点意思
PS、最后那行下限 k=1 起吧。

abababa

回复 21# kuing

是的，应该是从$1$开始，不过网友发过来的版本是$0$开始，应该是他打错了。
另外他最开始那个“由 Euler”我也没明白，印象中是魏尔斯特拉斯那个无穷乘积分解得出了$\frac{\sin(x\pi)}{x\pi}=\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2})$，然后（取对数）求导两次得出的那个式子。

hbghlyj

$$\sum_{k=0}^{N-1} \frac{1}{\sin ^{2} \frac{(2 k+1) \pi}{2 N}}=N^{2}$$
$$\sum_{k=1}^{N} \cot ^{2} \frac{k \pi}{2 N+1}=\frac{N(2 N-1)}{3}$$
$$\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{\sin ^{2} \frac{k \pi}{2 N+1}}=\frac{2 N(N+1)}{3}$$
homepage.univie.ac.at/josef.hofbauer/02amm.pdf#page=3
备份一下,以防链接挂了
A Simple Proof of ζ(2)=frac{π^2}6 and Related Identities.pdf (85.56 KB, Downloads: 13)

2022-6-5 15:12 Upload

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