来自人教群正三角形一边上三等分点引出的角分线——暴力

isee

如图，粗略想了下，三角似乎不太好走。
当然，人教群已经解了。
先不转。

已知：$\triangle ABC$是等边三角形，$DC=2BD$，$DF$平分$\angle EDC$，$DE=7$，$CF=4$.求$BC$的长.

游客

BC=9

isee

回复 2# 游客


    莫道行人早，更有早行人

其妙

isee

其妙 发表于 2016-7-7 15:58

    厉害。

    不好玩的题，不知出处是哪。我再想一会，想不出就以后再说，哈哈。

isee

厉害。

    不好玩的题，不知出处是哪。我再想一会，想不出就以后再说，哈哈。 ...
isee 发表于 2016-7-7 16:13

   
超暴力解决

isee

回复 1# isee


    记$\angle EDF=\angle FDC=\alpha,DC=2BD=2k$，分别在$\triangle FDC$与$\triangle EBD$中，使用正弦定理，可得

   \begin{align}
   \frac 4{\sin \alpha}&=\frac {2k}{\sin (\alpha+60^\circ)}\label{01}\\
   \frac 7{\sin 60^\circ}&=\frac {k}{\sin (2\alpha-60^\circ)}\label{02}
   \end{align}

   由\eqref{01}交叉相乘，并用加法公式展开，整理，得$$\tan \alpha=\frac {\sqrt 3}{k-1}\tag{*}\label{03}.$$

   同样处理\eqref{02}，并用倍角公式，变形得到$$\frac {\sqrt{3}k}7=\frac {2 \tan \alpha -\sqrt 3 (1-\tan^2\alpha)}{1+\tan^2\alpha}\tag{**}\label{04}.$$


  将\eqref{03}式代入\eqref{04}，化简整理有$$k^2+5k-24=0,k>0\Rightarrow k=3.$$

  至此暴力无比，当然也得到了$BC=9$。

  PS:刚开始总想着和差化积，反而没有出路。

isee

以下解法 by 南飞雁
作正 $\triangle B D G$，旋转 $\triangle D G E$ 使 $D G G D C$ 重合，得 $\triangle D C H$．
延长DC，作 $HK \perp D C$
\[
\begin{aligned}
& \because \frac{B D=G D}{D C}=\frac{1}{2} \\
& \therefore D H=2 D E=14 \\
& \text { 设 } \angle E D F=a, \angle E D G=b . \\
& \because \angle E D F=\angle F D C=a . \\
& \angle G D E=\angle C D H=b . \\
& \therefore \angle F D H=a+b . \\
& \because \angle D F=a+b+60-60=a+b \\
& \therefore F H=D H=14 \\
& \therefore \angle H=14-4=10 \\
& \therefore C K=5, K H=5 \sqrt{3} \\
& \therefore D K=\sqrt{D H^2-K H^2}=11 \\
& \therefore D C=11-5=6 \\
& \therefore B C=6 \times \frac{3}{2}=9 .
\end{aligned}
\]

isee

其妙 发表于 2016-7-7 15:58

    和南飞燕大同小异，除了相似再得出一个等腰。。。。。。

    PS：太汗了，最后的方程竟然是一样的！我和暴力解法。。。。。。

isee

其妙 发表于 2016-7-7 15:58

Q，D，F，A四点共圆，妙。

应该还有其它平几法。除了这里的两种。

应该是竞赛题，好难入手的。

其妙

回复 11# isee
我是搬运工，果然你“山寨”了扎克的“来自人教群的……”

乌贼

回复 4# 其妙
我是用下面红色三角形，结果整合$DE$就算死我了,只得放弃……，蓝色三角形巧妙应用了$DE$

isee

回复  其妙
我是用下面红色三角形，结果整合$DE$就算死我了,只得放弃……，蓝色三角形巧妙应用了$DE${:vic ...
乌贼 发表于 2016-7-8 01:54

    这足矣说明此题平几不易想到辅助线

乌贼

回复 14# isee
这不是解题者想出来的，是命题者抹掉的命题过程，我们来看任何正$ \triangle ABC $中，$ AB=9x，BP=BD=3BQ=3x $，$ A、Q、D、F $四点共圆，必有$ CF=4x $，作$ DQ $的垂直平分线交$ AB $于$ E $，有\[ \angle EDQ=\angle EQD=\angle DFC=\angle FDP\riff \angle EDF=\angle PDQ=\angle FDC \]即$ DF $为$ \angle EDC $的角平分线。又两彩色三角形相似得\[ EQ=7x \]，再令\[ x=1 \]最后只留下$ \triangle ABC $及线段$ DE，DF $，告诉你三角形为正三角形，$BC=3BD，DF $平分角$ EDF，ED=7，FC=4 $，叫你求$ x $。

isee

回复  isee
这不是解题者想出来的，是命题者抹掉的命题过程，我们来看任何正$ \triangle ABC $中，$ AB=9x ...
乌贼 发表于 2016-7-9 00:04

逆命题啦。。。