一道重庆高考题的推广求证明

青青子衿

（2011－重庆理 7）已知 $a>0, b>0, a+b=2$ ，则 $\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$ 的最小值是

\[
\begin{aligned}
& 2(a+b)=2 a+b+b \geq 3 \sqrt[3]{2 a b^2} \Rightarrow \frac{\left[\frac{2(a+b)}{3}\right]^3}{2}=\frac{4(a+b)^3}{27} \geq a b^2 \\
& \Rightarrow \frac{1}{a b^2} \geq \frac{27}{4(a+b)^3} \\
& \frac{1}{a}+\frac{4}{b}=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{b} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{4}{a b^2}} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{27}{(a+b)^3}}=3 \sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{9}{2}
\end{aligned}
\]


已知 $a>0, b>0, c>0, a+b+c=3$ ，则 $\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{9}{b}$ 的最小值是

第一章

所要求的结论×已知条件，柯西一下就搞定……

Tesla35

明显应该用柯西啊。一步秒。。

青青子衿

明显应该用柯西啊。一步秒。。
Tesla35 发表于 2013-10-13 12:32

谁能像图中所给的方法解决！！

Tesla35

回复 4# 青青子衿


    自找苦吃啊。。

柯西选修也讲的啊。

第一章

想好了取等条件、凑好了系数，应该也不难。
难是难在配凑……

青青子衿

回复  青青子衿
自找苦吃啊。。
柯西选修也讲的啊。
Tesla35 发表于 2013-10-13 12:36

I strongly disagree with you, but I will have to defend your right to say it.I'm seriously.
“自找苦吃啊。。” 做学问没有什么自找苦吃一说。人们本身就是在发现问题与解决问题中成长的。
领悟所谓“笨”的方法，也可以帮助人们打开思路。并且在有些所谓的“巧”方法无所适从时，往往是所谓“笨”的方法解决的。
不管你是怎么想的，反正我是这么认为的，谢谢！

Tesla35

那就用均值
和用柯西一样的方法
$3\left(\frac1a+\frac4b+\frac9c\right)=(a+b+c)\left(\frac1a+\frac4b+\frac9c\right)
=1+4+9+\left(\frac ba+\frac{4a}{b}\right)+\left(\frac ca+\frac{9a}{c}\right)+\left(\frac {4c}{b}+\frac{9b}{c}\right)
\geqslant 14+2\sqrt4+2\sqrt9+2\sqrt{36}
=36$
$\frac1a+\frac4b+\frac9c\geqslant 12$

其妙

柯西、柯西的变式权方和、都一步秒，还可以均值、待定系数、参数方法、向量方法等等，太多了

kuing

自己推理一次各种不等式方法之间的所谓“通路”，以后就可以将证明改写成各种形式。

其妙

自己推理一次各种不等式方法之间的所谓“通路”，以后就可以将证明改写成各种形式。 ...
kuing 发表于 2013-10-13 14:10

这都被你看出来了

kuing

回复 11# 其妙

咳……这些……玩不等式的或多或少都知道一些……

isee

我以为k懒得回帖的~

其妙

我以为k懒得回帖的~
isee 发表于 2013-10-13 21:48

这些小菜，哪里看在眼里嘛