极值问题

nijupeng

kuing

差点以为那个字母是是把 $R$ 反过来写的……

令 $y=\sqrt2(1-z)$, $z\in[0,1]$，代入化简得
\[\{S_1,S_2,S_3,S_4,S_5,S_6\}
=\left\{(1-x)(1-z),z(1-z),\frac12xz,1-x,z^2,\frac12z(2-x)\right\},\]
由 $x$, $z\in[0,1]$ 易见各 $S_i$ 均为非负，设 $S=\min\{S_1,S_2,S_3,S_4,S_5,S_6\}$，则由均值有
\[S\leqslant S_1=1-x-z+xz\leqslant 1-2\sqrt{xz}+xz
=\bigl(1-\sqrt{2S_3}\bigr)^2\leqslant \bigl(1-\sqrt{2S}\bigr)^2,\]
即得
\[\sqrt S\leqslant 1-\sqrt{2S},\]
解得
\[S\leqslant \bigl(\sqrt2-1\bigr)^2,\]
不难验证，当 $x=z=2-\sqrt2$ 时 $S_1=S_3=\bigl(\sqrt2-1\bigr)^2$ 且其余 $S_i$ 均大于此值，即此时 $S=\bigl(\sqrt2-1\bigr)^2$，因此这就是 $S$ 的最大值。

kuing

话说，这题有啥背景么？

三尺水

回复 3# kuing


    三角形边上取五点，随取三点可以构成十个三角形，十个三角形面积中最小面积的最大值

三尺水

你这代换巧妙，刚好这个问题让你看出来了可以代换。我还不知怎么下手，有人直接软件一个命令秒出结果了。软件的好处是可以得出不能代换的结果。
我是三尺水，不会出单独巧妙计算的计算题。全部是求实际问题的算式。很多问题，列出算式了，可惜一看算式太奇葩，不好计算粗来