求证能作一个满足条件的圆。

abababa

平面上以点$O$为圆心$r$为半径作$\odot O$，取$\odot O$上一点$A_2$和线段$OA_2$上一点$A_1$，以点$A_2$为圆心$r_2$为半径作$\odot A_2$，求证能作一个以$A_1$为圆心的圆，使得$A_2 \in \odot A_1 \subset \odot O \cup \odot A_2$。

这个用软件画图很直观就能看到存在这样的圆，但是我没能证明出来。

kuing

注：$A_1$ 应该规定不能与 $O$ 重合，另外，你最后那式子的表达方式似乎有点问题，最好还是用文字表达吧。

设 $\odot O$ 与 $\odot A_2$ 交于 $A$, $B$，在弧 $AA_2B$ 上任取一点 $P$（异于端点及 $A_2$），则以 $A_1$ 为圆心且过 $P$ 的圆就是所求。

略证：为方便叙述，将 $\vv{A_2O}$ 的方向叫左边，$\vv{OA_2}$ 的方向叫右边，设 $\odot A_1$ 与 $\odot O$ 的另一交点为 $Q$，$\odot A_1$ 被 $P$, $Q$ 分成两段弧，将左边那段弧叫做左弧，右边的为右弧。
由于 $\vv{OA_1}$ 向右，则左弧必在 $\odot O$ 以内，剩下只需证右弧必在 $\odot A_2$ 内即可。
以 $A_2$ 为圆心再作一个过 $P$ 的圆（显然也过 $Q$，上图没画出来），由于 $\vv{A_2A_1}$ 向左，则右弧必在刚作的这个圆内，而这个圆又在 $\odot A_2$ 内，所以右弧在 $\odot A_2$ 内。

abababa

回复 2# kuing

其实用图来看是挺显然的，我是这么想的，想把那个半径构造出来，例如设$t>0$，然后令$\odot A_1$的半径是$r-r_1+t$，这样一来点$A_2$到圆心$A_1$的距离是$r-r_1$，它小于$\odot A_1$的半径，所以点$A_2$一定在$\odot A_1$内部。
后面一步我是想确定这个$t$的一个上界。然后分别证明对任意一个点$P \in \odot A_1$，都有点$P$也能被$\odot O$和$\odot A_2$组成的图形覆盖。先证明当$P \in \odot A_1$且$PO<r$时，这时因为$PO<r$所以点$P$肯定能被$\odot O$覆盖，下一步是当$P \in \odot A_1$且$PO\ge r$时，这时我想证明点$P$能被$\odot A_2$覆盖，但是我没能导出$PA_2<r_2$的关系。