以圆上两点为圆心作相交的两圆，则相交部分与此圆也相交

abababa

平面上给定$\odot O$，在$\odot O$上取两点$O_1,O_2$，分别以$O_1,O_2$为圆心作$\odot O_1,\odot O_2$，使得$\odot O_1$与$\odot O_2$相交（不包括相切和内含的情况），求证这个相交的部分必定与$\odot O$也相交。

从图上看也很显然，三个圆必然有公共部分，但是证明觉得不太好说

战巡

回复 1# abababa


在$O_1,O_2$之间相交部分的劣弧上找一个点，证明其邻域内存在点位于$O$内就完事啦

abababa

回复 2# 战巡
这个“相交部分的劣弧上”是指下图中的弧$N_1N_2$吗？但是我觉得虽然从图上看是显然的，但必须要证明相交部分确实包括$\odot O$的这一段弧$N_1N_2$才行。而且当$\odot O_1,\odot O_2$的半径足够大时，它们都内含$\odot O$，这时这段弧$N_1N_2$是不存在的。

abababa

我自己想从代数上来证明它，例如设$\odot O$的半径是$1$，然后用极坐标，设$O_1(1,0),O_2(1,\theta)$，再设$\odot O_1,\odot O_2$的半径分别是$r_1,r_2$，然后想用反证法，假设相交部分和$\odot O$不相交，想导出矛盾，但一直没想到具体的方法。

realnumber

O1O2线段上某点就可以，线段上的点都在O内.
O1,O2半径r1,r2,圆心距为d,那么到O1距离为(r1-(d-r2),r1)的点都可以.

abababa

回复 5# realnumber

按第二步来说，假设在$O_1O_2$上取一点$P$，设$PO_1=t$，这里使$r_1-(d-r_2)<t<r_1$，加上圆心距的条件$\abs{r_1-r_2}<d<r_1+r_2$，之后必须要推出$d-t<r_2$才行，这才能确定点$P$在$\odot O_2$中，但我没能从这些不等式中推出这个结果。

不过到是有了点思路，按3楼的图，取$O_1O_2$和$AC$的交点为$P$，因为连心线垂直公共弦，根据直角边小于斜边得到$O_1C>OP$，同样$O_2C>OP$，这样点$P$就在$\odot O_1$和$\odot O_2$内了，加上5楼说的线段$O_1O_2$全在$\odot O$内，所以点$P$也在$\odot O$内。然后就是取点$P$为圆心的一个圆，让这个半径足够小使得此圆在三圆之中。

但最后我觉得这个问题好像不像我想的那么简单，就拿5楼说的$O_1O_2$全在$\odot O$内来说，这应该是凸图形才有的性质，那这样更深入的还要证明圆是凸图形才行，这就太麻烦了。

realnumber

(r1-(d-r2),r1)，我想可能没考虑到位置，也许不对
因为需要r1-(d-r2)<r1,即r2<d.
给人感受你的证明一定要求很严密.

abababa

回复 7# realnumber

我对平面几何题很感兴趣，但有时画完图，马上就说取一点，作一条线段什么的，觉得虽然从图上看很明显，但到底存不存在，能不能取到，一直都很怀疑，平时也都是对什么相等、共点共线、平行垂直之类的问题进行证明，却一直没对取一点什么的证明，感觉不够严密。要是从代数上证明了它们，以后就觉得画图更“放心”了