求满足条件的实数$x$

abababa

求实数$x$，但$x$不是整数，使得对任意正整数$k$都有$[x^k]$是偶数。其中符号$[x]$表示不超过$x$的最大整数。

我觉得这样的实数有很多，不知有没有什么规律。

kuing

除了 (0,1) 内的数之外暂时还想不出其他

郝酒

ku版 帮忙看下那两道不等式呢：）

isee

除了 (0,1) 内的数之外暂时还想不出其他
kuing 发表于 2016-8-13 15:51

    其它区间似乎用二项式定理展开，由k的任意性，好像真是没有可能总是偶数。。。

abababa

网友构造了一个$x=\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，但他没给证明，只说这个肯定满足条件，估计他想让我试着证一下，但我也没证出来，也不知道是怎么构造出来的。$(0,1)$上的数到是很显然的满足条件。

kuing

网友构造了一个$x=\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，但他没给证明，只说这个肯定满足条件，估计他想让我试着证一下，但我也没证出来，也不知道是怎么构造出来的。$(0,1)$上的数到是很显然的满足条件。
abababa 发表于 2016-8-13 17:12

看起来是用数列搞的，大概可以这样证：
设 \an 满足 $a_1=5$, $a_2=21$, $a_{n+2}=5a_{n+1}-2a_n$，易证 $a_n$ 恒为奇数，求通项得
\[a_n=\left(\frac{5+\sqrt{17}}{2}\right)^n+\left(\frac{5-\sqrt{17}}{2}\right)^n,\]
上式右边第二项恒在 $(0,1)$ 内，故第一项的整数部分必为偶数。

这么看来，确实可以构造出很多这样的数

abababa

回复 6# kuing

谢谢，原来是这么弄出来的。要是正着出题问数列通项我就想到了，反着用通项里的一部分构造递推数列一时还没想起来。这样看来$x=\frac{5+\sqrt{37}}{2}$也可以，确实很多。

isee

看起来是用数列搞的，大概可以这样证：
设 \an 满足 $a_1=5$, $a_2=21$, $a_{n+2}=5a_{n+1}-2a_n$，易证 $ ...
kuing 发表于 2016-8-13 17:42

    不可思议的无理数。。。。。

色k

回复 8# isee

那再研究一下是否存在分数可行？

isee

看起来是用数列搞的，大概可以这样证：
设 \an 满足 $a_1=5$, $a_2=21$, $a_{n+2}=5a_{n+1}-2a_n$，易证 $ ...
kuing 发表于 2016-8-13 17:42

    这个奇数是如何证明的？

kuing

回复 10# isee

数归显然

isee

回复 11# kuing