[转帖]$a_{a_n}+a_n=2n$

isee

翻《kuing网络撸题集》时，看到2006年，在人教论坛，weelyoung 提出这个么个数列题

已知：$n\geqslant 1,a_n\in N_+$，若$a_{a_n}+a_n=2n$，求$a_n$.

原帖好像也没完全证完，有点意思，大家看看。

Tesla35

看起来就没有性趣

色k

回复 2# Tesla35

渣

青青子衿

回复 2# Tesla35

看起来就没有性趣
Tesla35 发表于 2016-8-15 21:39

我有兴趣……

青青子衿

回复 1# isee

翻《kuing网络撸题集》时，看到2006年，在人教论坛，weelyoung 提出这个么个数列题

已知：\(n\geqslant 1\)，\(a_n\in N_+\)，若\(a_{a_n}+a_n=2n\)，求\(a_n
\).
...
isee 发表于 2016-8-15 20:40

数列递推表达式：\(a_{a_n}+a_n=2n\)
可以等价于函数\(a(n)\)的函数方程：
\[a(a(n))+a(n)=2n\]
属于迭代函数方程
也可以依据特征方程解决
如例58

青青子衿

回复 1# isee

翻《kuing网络撸题集》时，看到2006年，在人教论坛，weelyoung 提出这个么个数列题

已知：\(n\geqslant 1\)，\(a_n\in N_+\)，若\(a_{a_n}+a_n=2n\)，求\(a_n
\).
...
isee 发表于 2016-8-15 20:40

与此题相仿也可以这样构造数列
如例3和【例7】


像此类题还有很多方法，如不动点法、连续单射单调函数法……
再如例65利用的就是连续单射单调函数法

isee

回复  isee

与此题相仿也可以这样构造数列
如例3和【例7】


像此类题还有很多方法，如不动点法、连续单 ...
青青子衿 发表于 2016-8-17 20:33

喔哦，原来有解答，是解答吧？看看先。

isee

回复  isee

数列递推表达式：\(a_{a_n}+a_n=2n\)
可以等价于函数\(a(n)\)的函数方程：
\[a(a(n))+a(n)=2n ...
青青子衿 发表于 2016-8-17 20:10

有相同的，但也太多不同，这资料是解函数，偶太笨，无法用到原题上。

realnumber

特殊到一般的方法对付1楼问题依然有效
$a_1=1,a_2=2$,你可以假设$a_2=1或3$很快可以得到矛盾
同样$a_3=3$,这个办法可以继续下去，用数学归纳法完成后面的无穷部分.

isee

特殊到一般的方法对付1楼问题依然有效
$a_1=1,a_2=2$,你可以假设$a_2=1或3$很快可以得到矛盾
同样$a_3=3$, ...
realnumber 发表于 2016-8-20 20:18

    可能，本题难就难在数归部分！至少原帖里就是卡在数归。

realnumber

假设  $n\le k,有a_n=n$成立，那么当n=k+1时，
$a_{a_{k+1}}+a_{k+1}=2k+2------（1）$,
若$a_{k+1}=1$，则(1)即为$1+1=2k+2$矛盾.
若$a_{k+1}=2$，则(1)即为$2+2=2k+2$矛盾.
.........
若$a_{k+1}=k+1$，则(1)即为$k+1+k+1=2k+2$成立（考察前后，仅此成立）.
若$a_{k+1}=k+2$，则(1)即为$a_{k+2}+k+2=2k+2$与$a_{a_{k+2}}+a_{k+2}=2k+4$矛盾.(得从前一个计算出$a_{k+2}=k,再代入后面一个，才能得到矛盾，后面同.$)
.....
若$a_{k+1}=2k+1$，则(1)即为$a_{2k+1}+2k+1=2k+2$与$a_{a_{2k+1}}+a_{2k+1}=4k+2$矛盾.
所以n=k+1时，猜想$a_n=n$也成立.
.......

isee

假设  $n\le k,有a_n=n$成立，那么当n=k+1时，
$a_{a_{k+1}}+a_{k+1}=2k+2------（1）$,
若$a_{k+1}=1$，则 ...
realnumber 发表于 2016-8-21 12:47

    原帖：bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=257276

isee

继续继续，，，，，，

realnumber

回复 13# isee


    继续,对我说的吗？数学归纳法我已经完成了啊11楼就是k到k+1部分.
isee提供的连接中14楼和我的意思应该差不多.他用变量了，我没用，逐个写出来了.

又连接中25楼，写成另一种形式罢了，其实也是一个意思，25楼就代回算一下，矛盾.

isee

回复  isee


    继续,对我说的吗？数学归纳法我已经完成了啊11楼就是k到k+1部分.
isee提供的中14楼和我 ...
realnumber 发表于 2016-8-21 13:11

没有特指。

打代码辛苦了。。。