求证：$x^8+x^2+1>x^5+x$

isee

求证：$x^8+x^2+1>x^5+x$.

kuing

$x\le0$ 时 $LHS>0\ge RHS$；
$x\in(0,1)$ 时 $x^2>x^5$, $1>x$；
$x\ge1$ 时 $x^8\ge x^5$, $x^2\ge x$。

realnumber

$0.5x^8+0.5x^2\ge x^5 ,0.5x^2+0.5\ge x$

isee

回复 3# realnumber


    然后？

isee

$x\le0$ 时 $LHS>0\ge RHS$；
$x\in(0,1)$ 时 $x^2>x^5$, $1>x$；
$x\ge1$ 时 $x^8\ge x^5$, $x^2\ge x$。 ...
kuing 发表于 2016-8-17 15:35

虽然看不懂，但被你秒。。。。。

kuing

我擦，这都看不懂？那都要然后？

青青子衿

回复 4# isee

$0.5x^8+0.5x^2\ge x^5 ,0.5x^2+0.5\ge x$
realnumber 发表于 2016-8-17 16:31

这两个由AM-GM不等式得到的两个同向不等式：
\(\frac{x^8+x^2}{2}\ge x^5\)
\(\frac{x^2+1}{2}\ge x\)
相加不就好了吗？
\(\frac{x^8}{2}+x^2+\frac{1}{2}\ge x^5+x\)
再由\(\frac{x^8}{2}\)恒正知：
\(\frac{x^8}{2}+x^2+\frac{1}{2}+\frac{x^8}{2}+\frac{1}{2}>x^5+x\)

isee

我擦，这都看不懂？那都要然后？
kuing 发表于 2016-8-17 20:22

相加？x^2的系数不对啊

isee

$x\le0$ 时 $LHS>0\ge RHS$；
$x\in(0,1)$ 时 $x^2>x^5$, $1>x$；
$x\ge1$ 时 $x^8\ge x^5$, $x^2\ge x$。 ...
kuing 发表于 2016-8-17 15:35

流氓题，这TM差得也太多了。。。

isee

LHS  左边式子？

isee

$0.5x^8+0.5x^2\ge x^5 ,0.5x^2+0.5\ge x$
realnumber 发表于 2016-8-17 16:31

    $0.5x^8+x^2+0.5>x^5+x$

    流氓题流氓题流氓题流氓题流氓题流氓题流氓题流氓题流氓题流氓题，怎么感觉被欺骗了

青青子衿

相加？x^2的系数不对啊
isee 发表于 2016-8-17 21:01

凑两个恒大于0的数就是原不等式的左边了呀！

回复  isee
这两个由AM-GM不等式得到的两个同向不等式：
\(\frac{x^8+x^2}{2}\ge x^5\)
\(\frac{x^2+1}{2}\ge x\)
相加不就好了吗？
\(\frac{x^8}{2}+x^2+\frac{1}{2}\ge x^5+x\)
再由\(\frac{x^8}{2}\)恒正知：
\(\frac{x^8}{2}+x^2+\frac{1}{2}+\frac{x^8}{2}+\frac{1}{2}>x^5+x\)
青青子衿 发表于 2016-8-17 21:00

青青子衿

回复 11# isee

$0.5x^8+x^2+0.5>x^5+x$

流氓题流氓题流氓题流氓题流氓题流氓题流氓题流氓题流氓题流氓题，怎 ...
isee 发表于 2016-8-17 21:10

这不等式还可以取等号
当且仅当x=1

青青子衿

回复 10# isee

LHS  左边式子？
isee 发表于 2016-8-17 21:05

left-hand side 左边

isee

回复  isee

left-hand side 左边
青青子衿 发表于 2016-8-17 21:16

isee

回复  isee

这不等式还可以取等号
当且仅当x=1
青青子衿 发表于 2016-8-17 21:15

    多谢！明白了。

isee

能配方么？

色k

回复 17# isee

有了均值法还写不出配方？

isee

回复  isee

有了均值法还写不出配方？
色k 发表于 2016-8-17 23:37

均值用得太强。

这样也行。2/3是比零大很多。。。。

$$x^8+x^2+1-x^5-x
\\=x^8-x^5+x^2-x+1
\\=\left(x^4-\frac x2\right)^2+\left(\frac{\sqrt 3x}{2}-\frac 1{\sqrt 3}\right)^2+\frac 23$$