$a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt {1-a^2}=1$

isee

已知：$a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt {1-a^2}=1$，求证：$a^2+b^2=1$

isee

这绝对是个陈题，再次看到在是某群里。

用最笨的方法也行：移项平方，合并，移项再平方，分解因式即可得到答案。

不过，最近又到的不等式“季节”了，顺着不等方向看了下，亦可：

$$a\sqrt{1-b^2}\leqslant \frac {a^2+1-b^2}2,b\sqrt{1-a^2}\leqslant \frac {b^2+1-a^2}2.$$

两式相加便有

$$a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2} \leqslant \frac {a^2+1-b^2}2+\frac {b^2+1-a^2}2=1.$$

而取等"="时，$$a=\sqrt {1-b^2},b=\sqrt {1-a^2}\Rightarrow a^2+b^2=1.$$

kuing

不等式的季节？怎么看出来的

isee

不等式的季节？怎么看出来的
kuing 发表于 2016-8-24 14:17

    学生高二上必修5，有不等式；高三也基本过了这一块。

    随口说一下而已啦，不用介意。

kuing

回复 4# isee

圆奶乳齿，难怪我不知道

justidy

柯西不等式快

其妙

回复 6# justidy
三角换元、向量等方法也挺快吧

kuing

回复 7# 其妙

都明知是相通的，谁快谁慢有什么所谓，看谁的写法字数多而已