2013年全国高中数学联合竞赛一试、二试试题

其妙

青青子衿

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其妙

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那个田开斌的解法吧？

战巡

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第二题..
\[a_{2m}+a_{2m+1}=2a_{m}+u+v\]
\[a_{2^k}+a_{2^k+1}+...+a_{2^{k+1}-1}=2(a_{2^{k-1}}+a_{2^{k-1}+1}+...+a_{2^k-1})+2^{k-1}(u+v)=...=2^k(u+v)+k2^{k-1}(u+v)\]
然后可知
\[S_{2^{k+1}}=\sum_{i=0}^k[2^i(u+v)+i2^{i-1}(u+v)]=2^k(u+v)(k+1)\]
于是当$u+v$为奇数时，令$k+1=(2p+1)^2(u+v)$，$p$为任意正整数，有$S_{2^{k+1}}=2^{(2p+1)^2(u+v)-1}(2p+1)^2(u+v)^2$为完全平方数
当$u+v$为偶数时，令$k+1=(2p)^2(u+v)$即可

其妙

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赞一个！牛笔！

isee

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第二张不清，能换张不？主要想看看几何的意思

kuing

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换了

isee

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换了
kuing 发表于 2013-10-13 21:52

   

好题！

那个楼证得也自然

---

2013年高中数学联赛，加试第一题，几何题，图在主楼

几何题：
$AB$是圆$\omega$的一条弦，$P$为(劣)弧$AB$内一点，$E$，$F$为线段$AB$上两点，满足$AE=EF=FB$。连接$PE$，$PF$并延长，与圆$\omega$分别相交于点$C$，$D$。
求证：$EF \cdot CD =AC \cdot BD$。

kuing

呃，那个好像还挺简单
\begin{align*}
EF\cdot CD=AC\cdot BD&\iff\frac{CD}{EF}=\frac{AC}{AE}\cdot\frac{BD}{BF} \\
&\iff\frac{3CD}{AB}=\frac{PB}{PE}\cdot\frac{PA}{PF} \\
&\iff\frac{3\sin\angle EPF}{\sin\angle APB}=\frac{PB}{PE}\cdot\frac{PA}{PF} \\
&\iff3PE\cdot PF\cdot\sin\angle EPF=PA\cdot PB\cdot\sin\angle APB \\
&\iff3S_{\triangle PEF}=S_{\triangle PAB}.
\end{align*}

kuing

话说，加试第三题这种考试计分方式蛮不错，你们有没有试过这样实行？

其妙

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肯定不敢实行，这样的话那个顶尖高手，就爽惨了！

isee

2013年高中数学联赛，加试第一题，几何题

$AB$是圆$\omega$的一条弦，$P$为弧$AB$内一点，$E$，$F$为线段$AB$上两点，满足$AE=EF=FB$。连接$PE$，$PF$并延长，与圆$\omega$分别相交于点$C$，$D$。
求证：$EF \cdot CD =AC \cdot BD$。



实在不满意标答，今天想了从纯几何角度想了约半时，方法如2楼类似，只不过，作的$\odot PAE$交$PD$于$G$，然后是反过来证一下平行四边形。大同小异。

后考虑到条件其实就是三个等线段及共圆，故得一如下的三角证法，类似于9楼，但需要添加一辅助线，得两三角形相似：

其实，可直接读最后一行即可，即\eqref{eq09}。

\begin{align*}
  EF \cdot CD&=AC \cdot BD\\
  \iff \dfrac {EF}{BD} &= \dfrac {AC}{CD}\\
  \iff \dfrac {FB}{BD} &= \dfrac {AC}{CD}\\
  \end{align*}
连接$AP$，并如图标记角$\alpha,\beta$，则
\begin{align*}
  \dfrac {FB}{BD} &= \dfrac {PF}{PA}
\end{align*}
另一方面
\begin{align*}
  1=\dfrac {AE}{EF} &= \dfrac {PA \cdot \sin \alpha}{PF \cdot \sin \beta}\\
  \Rightarrow  \dfrac {PF}{PA}&=\dfrac {\sin \alpha}{\sin \beta}
\end{align*}
于是
\begin{align*}
   \dfrac {FB}{BD} &= \dfrac {PF}{PA}=\dfrac {\sin \alpha}{\sin \beta}=\dfrac {AC}{CD}\tag{9}\label{eq09}
\end{align*}
得证。

isee

呃，那个好像还挺简单
\begin{align*}
EF\cdot CD=AC\cdot BD&\iff\frac{CD}{EF}=\frac{AC}{AE}\cdot\frac{ ...
kuing 发表于 2013-10-14 00:33

细看了，出发点相同，处理细节不同。

这个三等线段用法太厉害。

其妙

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几何控。
坐等乌贼来，

isee

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细看了参考答案，原来不仅仅只是用了托勒密定理，也有了三角函数。

由于个人很喜欢这个命题，简洁，易记，还有点意思，故把构造相似的方法也丢上来，虽与2楼大同小异。

作$\odot PAE$交$PD$直线于$G$，容易知道$\triangle ACD \sim \triangle AEG$，于是
\[\dfrac {AC}{EF}=\dfrac {AC}{AE}=\dfrac{CD}{GE}=\dfrac {CD}{BD} \]
亦得证。

其妙

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田开斌老师的博客：

其妙

潘氏定理（虽然无专家头衔，却是平面几何专家级别的，）：
tieba.baidu.com/p/2647619574

isee

回复  isee
田开斌老师的博客：
其妙 发表于 2013-10-20 23:08

我的方法原来就是别人方法2

这么巧正好相同


PS：其妙看来仅仅是转帖，没看内容~

其妙

回复 18# isee
方法相同是正常的，这正如考场里的考生，对某个压轴题，有不少都做出来了，而且方法相同，能说是抄袭么？
都是各自独立的原创吧
我对平面几何题一般都不再想了，看见几何题脑袋立刻关闭，但是若干年前很喜欢平几题，所以还有一定的怀念。但现在只转帖了。

乌贼

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班门不弄斧