网友问的$abc(a-bc^2)(b-ca^2)(c-ab^2)$最大值

kuing

Joseph  9:22:18
已知 $a$, $b$, $c$ 是满足 $a>bc^2$, $b>ca^2$, $c>ab^2$ 的正数，求 $abc(a-bc^2)(b-ca^2)(c-ab^2)$ 的最大值。
别人发来的，我没什么思路，你看看

在《撸题集》第 252 页题目 3.1.17. 中我已经证明过如下结论：
设 $x$, $y$, $z\in(0,1)$，则有 $(1-xyz)^3\geqslant (1-x^3)(1-y^3)(1-z^3)$。

应用于本题，依题意有 $bc^2/a$, $ca^2/b$, $ab^2/c\in(0,1)$，则
\[
abc(a-bc^2)(b-ca^2)(c-ab^2)
=(abc)^2\left(1-\frac{bc^2}a\right)
\left(1-\frac{ca^2}b\right)\left(1-\frac{ab^2}c\right)
\leqslant (abc)^2\bigl(1-(abc)^{2/3}\bigr)^3,
\]
令 $t=(abc)^{2/3}$，则
\[(abc)^2\bigl(1-(abc)^{2/3}\bigr)^3=t^3(1-t)^3\leqslant \frac1{64},\]
当 $a=b=c=\sqrt{1/2}$ 时满足题意且原式为 $1/64$，所以这就是最大值。

其妙

这题以前见过，还有各种变式，改天找一找